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目录1

第一章数·变量·函数1

1.1 实数·实数表示为数轴上的点1

1.2 实数的绝对值3

1.3 变量和常量4

1.4 变量的范围5

1.5 有序变量·递增和递减的变量·有界变量7

1.6 函数8

1.7 表示函数的方法9

1.8 基本初等函数·初等函数12

1.9 代数函数17

1.10极坐标系19

第一章习题21

第二章极限·函数的连续性23

2.1 变量的极限·无穷大量23

2.2 函数的极限26

2.3 趋向无穷大的函数·有界函数30

2.4 无穷小量及其基本性质34

2.5 关于极限的基本定理38

2.6 当x→0时函数sinx/x的极限44

2.7数e46

2.8自然对数52

2.9函数的连续性53

2.10连续函数的一些性质59

2.11无穷小量的比较61

第二章习题65

第三章导数和微分71

3.1 运动的速度71

3.2 导数的定义73

3.3 导数的几何意义76

3.4 函数的可微性77

3.5 函数y=xn的导数,n是一个正整数80

3.6 函数y=sinx,y=cosx的导数82

3.7 常量的导数·常量与函数积的导数·和、积以及商的导数84

3.8 对数函数的导数91

3.9 复合函数的导数92

3.10 函数y=tanx,y=cotx,y=ln|x|的导数95

3.11隐函数及其微分法97

3.12关于任意实指数的幂函数,一般指数函数和复合指数函数的导数99

3.13反函数及其微分法102

3.14反三角函数及其微分法106

3.15微分法的基本公式112

8.16函数的参数表示113

3.17用参数形式表示曲线方程116

3.18参变量函数的导数119

3.19双曲函数121

3.20微分125

3.21微分的几何意义130

8.22高阶导数132

3.23高阶微分134

3.24隐函数和参变量函数的高阶导数136

3.25二阶导数的力学意义140

3.26切线和法线方程·次切距和次法距的长度141

3.27向径对极角导数的几何意义145

第三章习题147

第四章可微分函数的一些定理165

4.1 导数根的定理(罗尔定理)165

4.2 中值定理(拉格朗日定理)167

4.3 广义中值定理(柯西定理)169

4.4 两个无穷小量之比的极限(计算0/0型的不定式)171

4.5 两个无穷大量之比的极限(计算∞/∞型的不定式)173

4.6 泰勒公式181

4.7 用泰勒公式求函数ex,sinx和cosx的展开式186

第四章习题191

第五章函数性态的研究197

5.1 问题的引出197

5.2 函数的增减性198

5.3 函数的极大值和极小值200

5.4 用一阶导数求可微分函数的极大值和极小值208

5.5 用二阶导数判断函数的极大值和极小值211

5.6 函数在闭区间上的最大值和最小值216

5.7 利用函数极大值和极小值的理论解应用问题218

5.8 利用泰勒公式求函数的极大值和极小值………………(221 )5.9 曲线的凸凹性·拐点224

5.10渐近线232

5.11研究函数和绘制图形的一般方法239

5.12研究由参数方程表示的曲线245

第五章习题251

第六章曲线的曲率260

6.1弧长及其导数260

6.2 曲率263

6.3 曲率的计算265

6.4 计算由参数表示的曲线的曲率268

6.5 计算由极坐标方程给出曲线的曲率269

6.6 曲率半径和曲率圆·曲率中心·渐屈线和渐伸线271

6.7 渐屈线的性质278

6.8 方程的近似实根282

第六章习题288

第七章复数·多项式292

7.1 复数·基本定义292

7.2 复数的基本运算294

7.3 复数的乘方与开方298

7.4 复指数的指数函数及其性质302

7.5 欧拉公式·复数的指数式305

7.6 多项式的因式分解307

7.7 多项式的重根311

7.8 含复数根的多项式的分解313

7.9 插值法·拉格朗日插值公式315

7.10牛顿插值公式318

7.11数值微分法320

7.12用多项式最佳逼近函数·切比雪夫的理论322

第七章习题323

第八章多元函数326

8.1多元函数的定义326

8.2二元函数的几何表示330

8.3函数的偏增量和全增量330

8.4多元函数的连续性332

8.5多元函数的偏导数337

8.6 二元函数偏导数的几何解释339

8.7 全增量与全微分340

8.8 利用全微分作近似计算344

8.9 利用全微分估计计算中的误差346

8.10复合函数的偏导数·全导数·复合函数的全微分351

8.11隐函数的导数357

8.12高阶偏导数361

8.13等值面367

8.14方向导数369

8.15梯度372

8.16二元函数的泰勒公式376

8.17多元函数的极大值和极小值379

8.18用已知方程联系的多元函数的极大值与极小值(条件极大值和极小值)390

8.19根据实验数据用最小二乘法求函数397

8.20曲线的奇点402

第八章习题409

第九章微分在立体几何中的应用417

9.1 空间曲线的方程417

9.2 标量自变量的向量函数的极限和导数·曲线的切线方程·法平面方程420

9.3 向量(向量函数)的微分法则429

9.4 向量对弧长的一阶和二阶导数·曲线的曲率·主法线·作曲线运动的点的速度和加速度433

9.5 密切面·次法线·挠率444

9.6 曲面的切平面与法线450

第九章习题455

第十章不定积分……………………………………………………(458 )10.1原函数和不定积分458

10.2积分表461

10.3 不定积分的某些性质464

10.4置换积分法(变量代换)467

10.5包含二次三项式的某些函数的积分470

10.6分部积分法474

10.7有理分式·部分有理分式和它们的积分479

10.8有理分式分解成部分分式485

10.9有理分式的积分491

10.10无理函数的积分495

10.11 ∫R(x,?)dx型的积分497

10.12某些三角函数类的积分502

10.13用三角代换求某些无理函数的积分508

10.14关于不能用初等函数表示其积分的函数511

第十章习题513

11.1问题的提出·下和及上和534

第十一章定积分534

11.2定积分·定积分存在的证明536

11.3定积分的基本性质550

11.4计算定积分·牛顿——莱布尼兹公式554

11.5定积分的变量代换法559

11.6分部积分法561

11.7广义积分564

11.8定积分的近似计算573

11.9切比雪夫公式580

11.10含参数积分·Г函数586

11.11实变量的复函数的积分590

第十一章习题591

第十二章定积分在几何与力学中的应用597

12.1在直角坐标系中计算面积597

12.2极坐标系中曲线扇形的面积…………………………………(601 )12.3曲线的弧长602

12.4由已知平行截面面积计算立体的体积610

12.5旋转体的体积612

12.6旋转体的侧面积614

12.7用定积分计算功616

12.8重心的坐标618

12.9用定积分计算线、圆和圆柱的转动惯量622

第十二章习题625

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