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第一篇复变函数3

第1章复数与复变函数3

1.1复数概念及其运算3

1.1.1复数概念3

1.1.2复数的基本代数运算4

1.2复数的表示4

1.2.1复数的几何表示4

1.2.2复数的三角表示6

1.2.3复数的指数表示6

1.2.4共轭复数7

1.2.5复球面、无穷远点7

1.3复数的乘幂与方根8

1.3.1复数的乘幂8

1.3.2复数的方根9

1.3.3实践编程：正十七边形的几何作图法10

1.4区域11

1.4.1基本概念11

1.4.2区域的判断方法及实例分析14

1.5复变函数14

1.5.1复变函数概念14

1.5.2复变函数的几何意义——映射15

1.6复变函数的极限16

1.6.1复变函数极限概念16

1.6.2复变函数极限的基本定理17

1.7复变函数的连续18

1.7.1复变函数连续的概念18

1.7.2复变函数连续的基本定理18

1.8典型综合实例19

小结23

习题125

计算机仿真编程实践26

第2章解析函数28

2.1复变函数导数与微分28

2.1.1复变函数的导数28

2.1.2复变函数的微分概念30

2.1.3可导的必要条件30

2.1.4可导的充分必要条件32

2.1.5求导法则33

2.1.6复变函数导数的几何意义34

2.2解析函数35

2.2.1解析函数的概念35

2.2.2解析函数的法则36

2.2.3函数解析的充分必要条件37

2.2.4解析函数的几何意义（映射的保角性）39

2.3初等解析函数40

2.3.1指数函数（单值函数）40

2.3.2对数函数——指数函数的反函数（多值函数）41

2.3.3三角函数（单值函数）43

2.3.4反三角函数（多值函数）45

2.3.5双曲函数（单值函数）46

2.3.6反双曲函数（多值函数）47

2.3.7整幂函数z n（单值函数）47

2.3.8一般幂函数与根式函数w=n？z（多值函数）48

2.3.9多值函数的基本概念49

2.4解析函数与调和函数的关系51

2.4.1调和函数与共轭调和函数的概念51

2.4.2解析函数与调和函数之间的关系51

2.4.3解析函数的构建方法52

2.5解析函数的物理意义——平面矢量场53

2.5.1用解析函数表述平面矢量场53

2.5.2静电场的复势54

2.6典型综合实例56

小结58

习题259

计算机仿真编程实践60

第3章复变函数的积分61

3.1复变函数积分及性质61

3.1.1复变函数积分的概念61

3.1.2复积分存在的条件及计算方法62

3.1.3复积分的基本性质62

3.1.4复积分的计算典型实例63

3.1.5复变函数环路积分的物理意义64

3.2柯西积分定理及其应用65

3.2.1柯西积分定理65

3.2.2不定积分66

3.2.3典型应用实例68

3.2.4柯西积分定理（柯西-古萨定理）的物理意义68

3.3基本定理的推广——复合闭路定理69

3.4柯西积分公式72

3.4.1有界区域的单连通柯西积分公式72

3.4.2有界区域的复连通柯西积分公式73

3.4.3无界区域的柯西积分公式74

3.5柯西积分公式的几个重要推论76

3.5.1解析函数的无限次可微性（高阶导数公式）76

3.5.2解析函数的平均值公式78

3.5.3柯西不等式78

3.5.4刘维尔定理79

3.5.5莫勒纳定理79

3.5.6最大模原理79

3.5.7代数基本定理80

3.6典型综合实例80

小结85

习题386

计算机仿真编程实践88

第4章解析函数的幂级数表示89

4.1复数项级数的基本概念89

4.1.1复数项级数概念89

4.1.2复数项级数的判断准则和定理89

4.2复变函数项级数91

4.3幂级数93

4.3.1幂级数概念93

4.3.2收敛圆与收敛半径94

4.3.3收敛半径的求法95

4.4解析函数的泰勒级数展开式98

4.4.1泰勒级数98

4.4.2将函数展开成泰勒级数的方法99

4.5罗朗级数及展开方法100

4.5.1罗朗级数100

4.5.2罗朗级数展开方法实例103

4.5.3用级数展开法计算闭合环路积分105

4.6典型综合实例105

小结108

习题4110

计算机仿真编程实践112

第5章留数定理113

5.1解析函数的孤立奇点113

5.1.1孤立奇点概念113

5.1.2孤立奇点的分类及其判断定理113

5.2解析函数在无穷远点的性质117

5.3留数概念118

5.4留数定理与留数和定理120

5.5留数的计算方法121

5.5.1有限远点留数的计算方法121

5.5.2无穷远点的留数计算方法123

5.6用留数定理计算实积分125

5.6.1∫2π 0 R（cosθ，sinθ）dθ型积分125

5.6.2 ∫＋∞-∞ P（x）/Q（x）dx型积分127

5.6.3 ∫＋∞-∞ f（x）e iax dx（a＞0）型积分128

5.6.4其他类型（积分路径上有奇点）的积分计算举例130

5.7典型综合实例132

小结136

习题5137

计算机仿真编程实践139

第6章保角映射140

6.1保角映射的概念140

6.2分式线性映射141

6.2.1分式线性映射的概念141

6.2.2两种基本映射142

6.2.3分式线性映射的性质143

6.2.4分式线性映射的确定及应用145

6.2.5三类典型的分式线性映射148

6.3几个初等函数所构成的映射150

6.3.1幂函数映射150

6.3.2指数函数w=e z映射151

6.3.3儒可夫斯基函数映射152

6.4典型综合实例153

小结156

习题6157

计算机仿真编程实践158

第一篇复变函数论全篇总结框图158

第一篇综合测试题159

第二篇数学物理方程162

第7章数学建模——数学物理定解问题162

7.1数学建模——波动方程类型的建立163

7.1.1波动方程的建立163

7.1.2波动方程的定解条件169

7.2数学建模——热传导方程类型的建立171

7.2.1数学物理方程——热传导类型方程的建立171

7.2.2热传导（或扩散）方程的定解条件174

7.3数学建模——稳定场方程类型的建立175

7.3.1稳定场方程类型的建立175

7.3.2泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件176

7.4数学物理定解理论177

7.4.1定解条件和定解问题的提法177

7.4.2数学物理定解问题的适定性178

7.4.3数学物理定解问题的求解方法178

7.5典型综合实例178

小结181

习题7181

计算机仿真编程实践182

第8章二阶线性偏微分方程的分类183

8.1基本概念183

8.2数学物理方程的分类184

8.3二阶线性偏微分方程标准化187

8.4线性偏微分方程解的特征190

8.5典型综合实例191

小结192

习题8193

计算机仿真编程实践193

第9章行波法与达朗贝尔公式194

9.1二阶线性偏微分方程的通解194

9.2二阶线性偏微分方程的行波解195

9.3达朗贝尔公式196

9.3.1一维波动方程的达朗贝尔公式196

9.3.2达朗贝尔公式的物理意义197

9.4达朗贝尔公式的应用197

9.4.1齐次偏微分方程求解197

9.4.2非齐次偏微分方程的求解200

9.5定解问题的适定性验证201

9.6典型综合实例202

小结205

习题9206

计算机仿真编程实践206

第10章分离变量法207

10.1分离变量理论207

10.1.1偏微分方程变量分离及条件207

10.1.2边界条件可实施变量分离的条件208

10.2直角坐标系下的分离变量法208

10.2.1分离变量法介绍208

10.2.2解的物理意义211

10.2.3三维形式的直角坐标分离变量212

10.2.4直角坐标系分离变量例题分析213

10.3二维极坐标系下拉普拉斯方程的分离变量法217

10.4球坐标系下的分离变量法219

10.4.1拉普拉斯方程Δu=0的分离变量（与时间无关）219

10.4.2与时间有关的方程的分离变量221

10.4.3亥姆霍兹方程的分离变量222

10.5柱坐标系下的分离变量223

10.5.1与时间无关的拉普拉斯方程分离变量223

10.5.2与时间相关的方程的分离变量225

10.6非齐次二阶线性偏微分方程的解法225

10.6.1泊松方程非齐次方程的特解法225

10.6.2非齐次偏微分方程的傅里叶级数解法227

10.7非齐次边界条件的处理229

10.8典型综合实例231

小结235

习题10237

计算机仿真编程实践239

第11章幂级数解法——本征值问题240

11.1二阶常微分方程的幂级数解法240

11.1.1幂级数解法理论概述240

11.1.2常点邻域上的幂级数解法（勒让德方程的求解）241

11.1.3奇点邻域的级数解法（贝塞尔方程的求解）243

11.2施图姆-刘维尔本征值246

11.2.1施图姆-刘维尔本征值问题246

11.2.2施图姆-刘维尔本征值问题的性质247

11.2.3广义傅里叶级数249

11.2.4复数的本征函数族249

11.2.5希尔伯特空间矢量分解250

11.3综合实例250

小结251

习题11252

计算机仿真编程实践252

第12章格林函数法253

12.1格林公式253

12.2解泊松方程的格林函数法253

12.3无界空间的格林函数基本解256

12.3.1三维球对称情形257

12.3.2二维轴对称情形257

12.4用电像法确定格林函数258

12.4.1上半平面区域第一边值问题的格林函数构建方法259

12.4.2上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题260

12.4.3圆形区域第一边值问题的格林函数构建261

12.4.4球形区域第一边值问题的格林函数构建262

12.5典型综合实例264

小结265

习题12266

计算机仿真编程实践267

第13章积分变换法求解定解问题268

13.1傅里叶变换及性质268

13.1.1傅里叶变换268

13.1.2广义傅里叶变换269

13.1.3傅里叶变换的基本性质271

13.2拉普拉斯变换及性质276

13.2.1拉普拉斯变换276

13.2.2拉普拉斯变换的性质278

13.2.3拉普拉斯变换的反演281

13.3傅里叶变换法解数学物理定解问题283

13.3.1弦振动问题284

13.3.2热传导问题285

13.3.3稳定场问题286

13.4拉普拉斯变换解数学物理定解问题288

13.4.1无界区域的问题288

13.4.2半无界区域的问题288

小结290

习题13292

第14章保角变换法求解定解问题294

14.1保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系294

14.2保角变换法求解定解问题典型实例295

习题14299

计算机仿真编程实践299

第15章数学物理方程综述300

15.1线性偏微分方程解法综述300

15.2非线性偏微分方程301

15.2.1孤立波302

15.2.2冲击波303

小结304

第二篇综合测试题305

第三篇特殊函数308

第16章勒让德多项式——球函数308

16.1勒让德方程及其解的表示308

16.1.1勒让德方程、勒让德多项式308

16.1.2勒让德多项式的表示308

16.2勒让德多项式的性质及其应用311

16.2.1勒让德多项式的性质311

16.2.2勒让德多项式的应用（广义傅里叶级数展开）313

16.3勒让德多项式的生成函数（母函数）315

16.3.1勒让德多项式的生成函数的定义315

16.3.2勒让德多项式的递推公式316

16.4连带勒让德函数318

16.4.1连带勒让德函数的定义318

16.4.2连带勒让德函数的微分表示319

16.4.3连带勒让德函数的积分表示320

16.4.4连带勒让德函数的正交关系与模的公式320

16.4.5连带勒让德函数——广义傅里叶级数320

16.4.6连带勒让德函数的递推公式321

16.5球函数321

16.5.1球函数的方程及其解321

16.5.2球函数的正交关系和模的公式322

16.5.3球面上函数的广义傅里叶级数323

16.5.4拉普拉斯方程的非轴对称定解问题324

16.6典型综合实例325

小结328

习题16331

计算机仿真编程实践331

第17章贝塞尔函数332

17.1贝塞尔方程及其解332

17.1.1贝塞尔方程332

17.1.2贝塞尔方程的解333

17.2三类贝塞尔函数的表示式及性质333

17.2.1第一类贝塞尔函数333

17.2.2第二类贝塞尔函数335

17.2.3第三类贝塞尔函数335

17.3贝塞尔函数的基本性质336

17.3.1贝塞尔函数的递推公式336

17.3.2贝塞尔函数与本征值问题338

17.3.3贝塞尔函数的正交性和模340

17.3.4广义傅里叶-贝塞尔级数341

17.3.5贝塞尔函数的母函数（生成函数）342

17.4虚宗量贝塞尔方程及其解343

17.4.1虚宗量贝塞尔方程的解343

17.4.2第一类虚宗量贝塞尔函数的性质344

17.4.3第二类虚宗量贝塞尔函数的性质345

17.5球贝塞尔方程及其解345

17.5.1球贝塞尔方程345

17.5.2球贝塞尔方程的解345

17.5.3球贝塞尔函数的级数表示346

17.5.4球贝塞尔函数的递推公式346

17.5.5球贝塞尔函数的初等函数表示式346

17.5.6球形区域内的球贝塞尔方程的本征值问题347

17.6典型综合实例348

小结350

习题17352

计算机仿真编程实践353

第三篇综合测试题353

第四篇计算机仿真与实践355

第18章计算机仿真在复变函数中的应用355

18.1复数运算和复变函数的图形355

18.1.1复数的基本运算355

18.1.2复数的运算355

18.1.3复变函数的图形357

18.2复变函数的极限与导数、解析函数360

18.2.1复变函数的极限360

18.2.2复变函数的导数361

18.2.3解析函数361

18.3复变函数的积分与留数定理362

18.3.1非闭合路径的积分计算362

18.3.2闭合路径的积分计算362

18.4复变函数级数364

18.4.1复变函数级数的收敛及其收敛半径364

18.4.2单变量函数的泰勒级数展开365

18.4.3多变量函数的泰勒级数展开366

18.5傅里叶变换及其逆变换367

18.5.1傅里叶积分变换367

18.5.2傅里叶逆变换368

18.6拉普拉斯变换及其逆变换368

18.6.1拉普拉斯变换368

18.6.2拉普拉斯逆变换369

计算机仿真编程实践370

第19章数学物理方程的计算机仿真求解371

19.1用偏微分方程工具箱求解偏微分方程371

19.1.1用GUI解PDE问题371

19.1.2计算结果的可视化372

19.2计算机仿真编程求解偏微分方程374

19.2.1双曲型：波动方程的求解374

19.2.2抛物型：热传导方程的求解377

19.2.3椭圆型：稳定场方程的求解379

19.2.4点源泊松方程的适应解381

19.2.5亥姆霍兹方程的求解382

19.3定解问题的计算机仿真显示383

19.3.1波动方程解的动态演示384

19.3.2热传导方程解的分布385

19.3.3泊松方程解的分布386

19.3.4格林函数解的分布387

19.3.5本征值问题中本征函数的分布388

计算机仿真编程实践389

第20章特殊函数的计算机仿真应用390

20.1连带勒让德函数、勒让德多项式、球函数390

20.1.1连带勒让德函数390

20.1.2勒让德多项式390

20.1.3球函数391

20.1.4勒让德多项式的母函数图形391

20.2贝塞尔函数（柱函数）及其性质392

20.2.1贝塞尔函数及仿真392

20.2.2虚宗量贝塞尔函数394

20.2.3球贝塞尔函数的图形394

20.2.4平面波用柱面波形式展开395

20.2.5定解问题的图形显示396

20.3其他特殊函数397

计算机仿真编程实践397

第21章数学物理方法仿真实践398

21.1复变函数仿真实践398

21.2数学物理方程仿真实践400

21.2.1基模高斯光束的传输特性仿真400

21.2.2光子晶体中本征值问题的仿真403

21.3特殊函数应用仿真实践——布拉格光纤光传输特性仿真405

参考文献410