《应用数学方法》

第一篇泛函分析的一些基本知识1

第一章泛函分析的一些基本知识1

1距离空间1

1.1距离空间的定义和例子1

1.2距离空间中的点集3

1.3收敛性与完备性4

2线性赋范空间5

2.1线性空间的定义和例子5

2.2线性赋范空间6

3希尔伯特空间7

习题一9

第二篇变分法11

第二章引论 固定边界的变分问题11

1变分问题的引出11

1.1最速降线问题11

1.2短程线问题13

1.3古典等周问题13

2关于泛函极值的一些基本概念14

3变分概念 欧拉方程18

3.1变分概念19

3.2变分法的基本引理21

3.3欧拉方程22

4欧拉方程的几种特殊情况23

5含多个函数的泛函与含高阶导数的泛函26

6含多个自变量的函数的泛函31

习题二33

第三章条件变分问题与可动边界的变分问题37

1条件变分问题37

1.1 G（x，y1，y2，…，yn）=0型的约束37

1.2 G（x，y1，y2，…，yn，y＇1，y＇2，…，y＇n）=0型的约束40

1.3等周问题41

2自然边界条件44

习题三48

第四章变分原理与直接方法51

1哈米顿原理和最小位能原理51

1.1哈米顿原理51

1.2最小位能原理53

2变分原理55

3吕兹方法63

4迦辽金方法68

习题四72

第三篇积分方程74

第五章积分方程的概念及解法74

1积分方程的概念、分类及例子74

1.1积分方程的概念74

1.2积分方程的分类75

1.3导出积分方程的例子77

2具有退化核的积分方程80

2.1第一类弗雷德霍姆方程80

2.2第二类齐次弗雷德霍姆方程82

2.3第二类非齐次弗雷德霍姆方程83

3伏特拉方程及具有卷积核的方程86

3.1化为微分方程的求解方法87

3.2拉普拉斯变换法88

3.3富里埃变换法89

4逐次逼近法90

4.1第二类伏特拉方程90

4.2第一类伏特拉方程93

4.3第二类弗雷德霍姆方程94

5近似解法96

5.1迭代法97

5.2核与自由项的渐近98

5.3配置法99

5.4迦辽金法101

6数值积分法102

6.1第二类伏特拉积分方程102

6.2第二类非齐次的弗雷德霍姆方程104

习题五105

第六章积分方程的基本理论109

1两类积分算子的压缩性109

1.1第二类弗雷德霍姆积分方程所对应的积分算子及其压缩性109

1.2第二类伏特拉方程所对应的积分算子的压缩性110

2解的存在及唯一性定理112

2.1弗雷德霍姆方程解的存在及唯一性112

2.2伏特拉方程解的存在及唯一性113

2.3非线性积分方程解的存在及唯一性114

3第二类弗雷德霍姆方程117

3.1迭代序列及解核的收敛性117

3.2解核的性质120

3.3L2核的ω分解121

3.4特征值与特征函数122

4具有对称核的第二类弗雷德霍姆方程125

4.1对称核的性质125

4.2特征值的存在性125

4.3特征值与特征函数的性质126

5展开定理127

5.1正交标准函数系128

5.2正交标准特征系130

5.3对称核关于正交标准特征系的展开131

5.4对称核积分方程的解138

习题六140

第四篇摄动法初步143

第七章摄动法初步143

1摄动法若干基本概念143

1.1引言143

1.2符号与定义145

1.3渐近级数146

2正则摄动和奇摄动问题148

2.1正则摄动问题148

2.2奇摄动问题152

3Lindstedt-Poincare方法154

3.1L-P方法154

3.2P-L-K法156

4匹配法与合成法162

4.1Prandtl匹配法（1905）163

4.2合成法（又称修正匹配法）168

5多重尺度法171

5.1导数展开法177

5.2双变量展开法181

5.3非线性尺度法183

6估计余项187

习题七187

第五篇偏微分方程的广义解192

第八章偏微分方程的广义解192

1引言192

2Sobolev空间简介195

2.1广义导数195

2.2Soboev空间197

2.3嵌入定理198

2.4迹定理201

3二阶椭圆型方程边值问题的广义解203

3.1Poisson方程的Dirichlet问题203

3.2Lax-Milgram定理207

3.3Poisson方程的Neumann问题209

3.4第三边值问题212

3.5广义解的正则性213

4一般的二阶椭圆型方程的Dirichlet问题215

4.1广义解的存在唯一性216

4.2广义解的正则性218

习题八219