《应用数学原理与方法》求取 ⇩

序3

第一章 线性空间1

§1.1．引言1

§1.2．线性矢量空间2

§1.3．En和E∞中的数量积5

§1.4．抽象空间中的数量积7

§1.5．收敛和完备空间10

§1.6．线性流形和子空间12

§1.7．线性矢量空间的表示法18

§1.8．正交化20

§1.9．射影定理和线性泛函22

§1.10．线性算子27

§1.11．算子的表示法30

§1.12．算子的反演34

§1.13．恒等算子与小算子之和的反演40

§1.14．全连续算子46

§1.15．伴随算子51

§1.16．方程Lx＝a的解的存在和唯一性54

§1.17．闭值域算子59

附录Ⅰ．射影定理62

附录Ⅱ．闭值域算子与并矢之和64

第二章 算子的谱理论69

§2.1．引言69

§2.2．不变流形（子空间）69

§2.3．可交换算子76

§2.4．广义本征矢量82

§2.5．算子在广义零空间中的表示85

§2.6．有穷维空间上算子的标准形92

§2.7．相似变换98

§2.8．矩阵的左本征矢量及右本征矢量102

§2.9．伴随算子的本征值107

§2.10．矩阵的特征方程109

§2.11．自伴算子112

§2.12．正交矩阵116

§2.13．酉矩阵及埃尔米特矩阵119

§2.14．二次型121

§2.15．一个积分的计算125

§2.16．同时化两个二次型为平方和128

§2.17．算子的谱表示131

§2.18．算子函数135

§2.19．谱表示与复变积分140

§2.20．特征方程与矩阵函数142

§2.21．差分方程组或微分方程组145

§2.22．一般空间中的算子148

§2.23．连续谱的例子151

附录．定理2.11的证明155

第三章 格林函数158

§3.1．引言158

§3.2．恒等算子作为一个积分算子158

§3.3．δ函数的意义160

§3.4．检验函数与广义函数162

§3.5．广义函数的导数165

§3.6．通常函数的广义导数167

§3.7．广义导数的例子168

§3.8．逆微分算子——例171

§3.9．线性微分算子的定义域173

§3.10．伴随微分算子·埃尔米特算子176

§3.11．自伴二阶微分算子180

§3.12．广义运算182

§3.13．格林函数与δ函数186

§3.14．格林函数——例1189

§3.15．格林函数——例2192

§3.16．格林函数——例3193

§3.17．非混合边界条件的格林函数197

§3.18．非齐次边界条件200

§3.19．齐次方程有非零解的情形203

§3.20．一般边界条件下的格林函数206

§3.21．伴随方程的格林函数208

§3.22．不连续条件209

§3.23．波的传播与散射212

附录Ⅰ．方程（3.30）解的存在性223

附录Ⅱ．对大x值的解228

第四章 常微分方程的本征值问题233

§4.1．引言233

§4.2．按本征函数展开——例1234

§4.3．按本征函数展开——例2236

§4.4．按本征函数展开的一般理论237

§4.5．按本征函数展开——例3242

§4.6．按本征函数展开——例4245

§4.7．用变分法求本征值的近似值248

§4.8．格林函数与谱表示255

§4.9．谱表示——例257

§4.10．连续谱——例260

§4.11．格林函数的奇点265

§4.12．重本征函数与格林函数的重极点269

§4.13．离散谱的摄动法272

§4.14．连续谱——例275

§4.15．连续谱的直接逼近方法279

§4.16．连续谱的摄动法284

§4.17．连续谱的规格化——例288

§4.18．连续谱的规格化与波的散射293

§4.19．谱表示总结297

附录．定理4.7的证明300

第五章 偏微分方程302

§5.1．引言302

§5.2．偏微分算子的格林函数304

§5.3．变量分离法310

§5.4．二可交换算子之和的逆算子314

§5.5．格林函数的两种表达形式318

§5.6．边界值问题320

§5.7．一个表面矛盾323

§5.8．将一个表达式变成另一个326

§5.9．将一个表达式变成另一个——例328

§5.10．二可交换算子之和的谱表示331

§5.11．三个可交换算子之和的逆算子一例335

§5.12．偏微分算子的谱表示338

§5.13．连续谱的物理意义340

§5.14．不同坐标系下的δ函数346

§5.15．初值问题350

§5.16．波动方程的格林函数355