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第四篇 复变函数1

1 复数与复变函数1

1.1 复数1

1.2 区域10

1.3 复变函数14

习题一26

2 解析函数29

2.1 函数解析的定义及其充要条件29

2.2 解析函数的物理解释31

2.3 解析函数的几何解释34

2.4 初等函数37

习题二43

3 柯西定理 柯西公式46

3.1 柯西定理与原函数46

3.2 柯西公式与高阶导数53

3.3 柯西公式的应用57

习题三70

4 留数及其应用74

4.1 孤立奇点的分类74

4.2 留数及其计算81

4.3 留数的应用86

习题四98

5 保角映射102

5.1 分式线性映射102

5.2 幂函数、指数函数决定的映射112

5.3 儒可夫斯基映射118

5.4 保角映射在平面场的应用举例120

习题五124

第五篇 数学物理方程124

6 数学物理方程基础知识127

6.1 三类典型方程128

6.2 线性偏微分方程与叠加原理129

6.3 定解问题131

6.4 常用公式135

习题六139

7 扩散方程142

7.1 扩散方程与热传导方程的导出142

7.2 分离变量法——混合问题的求解147

7.3 非齐次方程与非齐次边界条件的处理157

7.4 积分变换法——解无穷区域与半无穷区域的扩散问题166

习题七170

8 拉普拉斯方程173

8.1 拉普拉斯方程的物理背景173

8.2 分离变量法——解某些特殊区域上的边值问题175

8.3 边值问题的其它解法188

8.4 格林函数法194

习题八203

9 波动方程205

9.1 波动方程及其定解条件的物理意义205

9.2 高维波动方程混合问题的分离变量法209

9.3 一维波动方程的初值问题213

9.4 高维波动方程的初值问题225

习题九230

10 数学物理方程的差分解法232

10.1 导数的近似表达式232

10.2 拉普拉斯方程的差分格式233

10.3 扩散方程的差分格式239

10.4 波动方程的差分格式241

习题十242

11 贝塞尔函数与勒让德函数243

11.1 贝塞尔函数简述、应用举例243

11.2 勒让德函数简述、应用举例254

习题十一262

习题答案264

附录276

A 富氏变换简表276

B 拉氏变换简表277

C Γ-函数与贝塞尔函数的公式与图表279

参考书目285