《应用泛函分析基础》

第一章集的基本概念1

§1.1集和集的运算1

§1.2集的对等·势5

§1.3可列集9

§1.4连续集的势13

§1.5具有高级势的集16

习题一17

第二章距离空间20

§2.1距离空间的概念20

§2.2开集·数轴上开集的构造23

§2.3收敛序列和闭集26

§2.4稠密集·可分空间30

§2.5距离空间的完备性与完备化32

§2.6完备距离空间的两个定理40

§2.7压缩映照原理43

§2.8距离空间内集合的列紧性48

§2.9线性赋范空间56

习题二59

第三章勒贝格测度与勒贝格积分65

§3.1积分概念扩充的必要性65

§3.2数轴上点集的测度67

§3.3可测函数81

§3.4有界可测函数的Lebesgue积分92

§3.5有界可测函数积分的基本性质96

§3.6Riermann积分与Lebesgue积分的比较106

§3.7无界函数的Lebesgue积分109

§3.8L1（E）空间的完备性126

§3.9Lp（E）空间131

§3.10多元函数的Lebesgue积分与Fubini定理135

§3.11Lebesgue-Stieltjes积分139

习题三142

第四章线性有界算子·Banach空间中的几个定理145

§4.1线性有界算子145

§4.2线性有界算子空间152

§4.3线性泛函的延拓定理154

§4.4共鸣定理158

§4.5逆算子定理·闭图象定理161

§4.6广义函数165

习题四176

第五章Hilbert空间179

§5.1内积空间179

§5.2Hilbert空间中的正交展开186

§5.3Hilbert空间的同构196

§5.4Hilbert空间上有界线性泛函的一般形式199

§5.5Hilbert空间上的共轭算子与自共轭算子202

§5.6特征值与特征函数206

§5.7全连续算子208

§5.8全连续自共轭算子的基本定理214

§5.9具有对称核的积分方程219

习题五222

参考文献226