《高等代数分析与研究》

第一章多项式1

一、数域P上的一元多项式环P〔X〕1

二、多项式的整除性2

三、最大公因式与最小公倍式6

四、因式分解10

五、多项式的根，n次单位根11

六、多元多项式环，对称多项式子环19

第二章行列式23

一、n阶行列式的定义23

二、行列式的性质24

三、行列式的计算25

四、行列式的应用——克莱姆规则33

五、Binet—Cauchy公式33

六、方阵和的行列式38

七、行列式的归纳定义40

第三章线性方程组42

一、线性方程组的初等变换43

二、向量的线性相关性，向量组的秩43

三、矩阵的秩，线性方程组有解判别定理、矩阵行等价标准形的应用47

四、线性方程组解的结构，求基础解系的方法51

五、关于解线性方程组的逆问题56

六、例题58

第四章矩阵62

一、矩阵环、矩阵空间62

二、矩阵的分块64

三、初等矩阵68

四、矩阵的运算与矩阵秩的关系，矩阵的满秩分解71

五、逆矩阵79

六、广义逆矩阵86

七、矩阵方程AX=B89

八、几种特殊矩阵，矩阵的三角分解97

第五章二次型110

一、数域P上二次型空间与对称矩阵空间的同构110

二、矩阵的合同关系，二次型的分类111

三、二次型的标准形111

四、正定二次型（正定阵）113

五、对称（反对称）矩阵性质的补充117

六、负定、半负定、不定二次型（矩阵）118

七、例题118

第六章线性空间137

一、线性空间的定义137

二、基底、维数、坐标137

三、子空间、子空间的和与交139

四、商空间（剩余类空间）153

五、线性空间的同构154

第七章线性变换157

一、线性映射与线性变换环HomP（V,V）157

二、环HomP（V,V）与环Pn×n同构（V为n维空间）160

三、Pn×n中的相似分类，相似于对角阵的条件，特征多项式与最小多项式162

四、方阵A相似于准对角阵。值域、核、不变子空间、值域与核的和是直和的条件188

第八章λ——矩阵209

一、λ——矩阵的基本概念209

二、λ——矩阵的等价标准形210

三、关于数字矩阵相似的判定213

四、数字矩阵的标准形：有理标准形、若当标准形、求方阵A相似于若当阵的过渡阵的方法215

五、若当标准形的应用227

第九章内积空间248

一、基本概念、格兰姆矩阵与度量阵248

二、标准正交基底的条件、施密特正交化，满秩阵的正交三角分解255

三、子空间、内积空间的同构267

四、n维内积空间中的共轭变换271

五、内积空间中的规范变换（规范矩阵）实规范阵正交相似于准对角阵274

六、酉空间中的酉变换（酉矩阵）与欧氏空间中的正交变换（正交矩阵），求正交矩阵的正交相似标准形及其过渡阵的方法，矩阵的奇异值分解288

七、欧氏空间中的镜面反射变换（矩阵），正交阵可分解为若干个镜面反射阵之积302

八、厄米特（对称）变换（矩阵），求实反对称阵的正交相似标准形及其过渡阵的方法310

第十章双线性函数317

一、线性函数317

二、对偶空间318

三、双线性函数324

四、对称（反对称）双线性函数329

五、伪欧氏空间338

总练习题342