《数学物理方法纲要》

第一章　向量1

Ⅰ　纲要1

1 向量及其运算1

一 向量概念1

二 向量的代数运算1

三 向量的分析运算3

2 数学场论6

一　数学场概念6

二　数量场的梯度6

三 矢量场的通量与散度7

四 矢量场的环量与旋度8

五　哈密顿算符10

六　几个特殊场10

七　柱坐标、球坐标系下的算符？与△12

Ⅱ　向量简史与基本问题14

第二章　复变函数17

Ⅰ　纲要17

1 复变函数17

一 复数17

二 复变函数19

〔附〕黎曼曲面与区域的概念19

三　初等函数20

四 解析函数21

2 复变函数的积分24

一 一般复变函数的积分24

二　解析函数的积分24

3　幂级数展开27

一　有关概念27

二　幂级数29

三 解析函数的泰勒展开与解析延拓30

四 解析函数的罗朗展开31

五　孤立奇点的分类32

一 基本概念34

二 留数基本定理34

六 解析函数的分类34

4 留数34

三 留数的计算35

四 留数的应用35

〔附〕柯西积分主值39

5 保角变换39

一 基本概念39

二 解析函数定义的变换39

四 简单函数定义的变换40

三　基本定理40

五 保角变换的应用46

Ⅱ　例题选解47

Ⅲ 复变函数论简史与基本问题62

第二章习题66

第三章 傅里叶级数与傅里叶积分77

Ⅰ　纲要77

一 周期函数与振动77

二 正交系与归一化正交系78

三 傅里叶三角级数80

四 二重傅里叶级数82

五　一般傅里叶级数83

六 傅里叶积分85

Ⅱ　例题选解88

Ⅲ　傅里叶级数简史与基本问题91

第三章习题95

第四章 特殊函数103

Ⅰ　纲要103

1 由积分定义的特殊函数103

一　Г函数103

二　В函数105

一 数学物理中常遇到的二阶线性常微分方程106

三 误差函数与余误差函数106

2 由微分方程产生的特殊函数106

二 方程的常点与奇点107

三 二阶线性常微分方程幂级数解的基本定理108

四 勒让得方程与勒让得多项武108

五 缔合勒让得方程与缔合勒让得函数113

六 贝塞尔方程与贝塞尔函数115

七 虚宗量贝塞尔方程与虚宗量贝塞尔函数122

八 球贝塞尔方程与球贝塞尔函数125

九 厄米方程与厄米多项式127

十　拉盖尔方程与拉盖尔多项式129

Ⅱ　例题选解132

Ⅲ　特殊函数论简史与基本问题138

第四章习题140

第五章 数学物理方程147

Ⅰ　纲要147

1 定解问题与方程的化简147

一 基本概念147

二 定解问题147

三 方程的化简148

一 推导泛定方程的原则性步骤151

2 定解问题的提出151

三 例题示范152

二 定解条件的提出152

3 定解问题常用解法之一——通解法157

一 关于定解问题的求解157

二 通解法的步骤与局限性158

三 行波法解无界弦或杆的纵振动问题158

四 通解法其他例160

4 定解问题常用解法之二——分离变量法161

一　有关概念161

三　分离变量法解问题Ⅰ162

二　一般初边值定解问题的分解162

四 问题Ⅱ的转化——边界条件齐次化168

五 问题Ⅲ的各种解法169

六 分离变量法解无界域问题172

七 正交曲线坐标系中的变量分离173

5 特殊函数的应用178

一　斯特姆-刘维本征值问题178

二 球函数180

三 球坐标系中拉普拉斯方程在自然条件下的傅里叶级数解182

四 球坐标系中亥姆霍兹方程的本征解183

五 柱坐标系下拉普拉斯方程满足部分边界条件的一般解184

六 柱坐标系下亥姆霍兹方程的本征解185

七 稳恒振动 平面波的展开186

附一 δ函数189

附二 冲量法诠释192

Ⅱ　例题选解193

Ⅲ 数学物理方程简史与基本问题211

第五章习题214

一 格林函数的概念227

Ⅰ　纲要227

第六章 格林函数227

二　格林函数法228

三 格林函数实例234

四 格林函数法解题示范238

Ⅱ　例题选解240

Ⅲ 格林函数简史与基本问题246

第六章习题248

第七章　积分变换252

Ⅰ　纲要252

二 拉普拉斯变换存在的条件253

三 简单函数的拉氏变换举例253

一　定义253

1 拉普拉斯变换253

四 拉氏变换的简单性质254

五 拉氏变换反演的基本定理255

六 拉氏变换的应用257

2 傅里叶变换259

一 定义259

二 傅里叶变换与逆变换举例260

三 傅里叶变换的性质261

四 Fc变换与Fs变换262

五　解题示范263

例题选解266

积分变换简史与基本问题278

第七章习题281

第八章　变分法290

Ⅰ　纲要290

一　基本概念290

二　泛函的极值291

三 泛函V〔y〕=？F(x,y,y′)dx有极值的必要条件——欧拉方程292

四 多个函数的泛函的极值293

五　含高阶导数的泛函的极值293

六 由重积分定义的泛函的极值294

七 泛函的条件极值295

八　可动端界的变分问题297

九 哈密顿原理299

十　变分问题的直接解法301

Ⅱ　例题选解303

Ⅲ 变分法简史与基本问题308

第八章习题311

第九章　积分方程316

Ⅰ　纲要316

一 基本概念316

二 线性积分方程的分类317

三 导致积分方程的典型问题318

四　退化核积分方程321

五　实对称核积分方程323

六　迭代法求非齐次积分方程的级数解329

Ⅱ　例题选解333

Ⅲ 积分方程论简史与基本问题338

第九章习题340

拉普拉斯变换表344

傅里叶变换表346

习题参考答案348

外国人名对照表383