《航空高等院校教材 偏微分方程差分解法》

第一章抛物型方程1

1—1 差分格式建立的基础1

1—2 显式差分格式6

1-2-1 一维常系数热传导方程的古典显式格式6

1-2-2 系数依赖于x的一维热传导方程的显式格式8

1—3 隐式差分格式10

1-3-1 古典隐式格式10

1-3-2 Crank—Nicolson隐式格式11

1-3-3 加权六点隐式格式12

1-3-4 系数依赖于x、t的一维热传导方程的一个隐式格式的推导13

1—4 解三对角形方程组的追赶法14

1—5 差分格式的稳定性和收敛性17

1-5-1 问题的提出17

1-5-2 ε—图法19

1-5-3 稳定性定义，稳定性分析的矩阵方法20

1-5-4 Gerschgorin定理及其在分析差分格式稳定性中的应用30

1-5-5 稳定性分析的Fourier级数法(uon Neumann方法)34

1-5-6 低阶项对稳定性的影响42

1-5-7 差分格式的收敛性43

1-5-8 相容逼近，Lax等价性定理44

1—6 非线性抛物型方程的差分解法举例45

1-6-1 Richtmyer线性化方法45

1-6-2 Lees三层差分格式47

1-6-3 算例48

1—7 二维抛物型方程的差分格式48

1-7-1 二维抛物型方程，显式差分格式48

1-7-2 隐式差分格式51

1-7-3 差分格式的稳定性分析52

1—8 交替方向隐式差分格式(ADI格式)55

习题60

第二章双曲型方程63

2—1 一阶拟线性双曲型方程的特征线法63

2-1-1 一阶线性方程，特征线及Cauchy问题的解法63

2-1-2 一阶拟线性方程Cauchy问题的特征线法64

2—2 一阶拟线性双曲型方程组的特征线法66

2-2-1 一阶拟线性双曲型方程组，特征，正规形式66

2-2-2 举例68

2-2-3 两个未知函数情形的特征线法70

2-3-1 Friedrichs—Lax格式76

2—3 一阶双曲型方程差分方法76

2-3-2 Courant—Isaacson—Rees格式77

2-3-3 Leap—Frog格式(蛙跳格式)80

2-3-4 Lax—Wendroff格式81

2-3-5 Crank—Nicolson格式82

2—4 一阶双曲型方程组的差分方法82

2-4-1 Friedrichs—Lax格式83

2-4-2 Courant—Isaacson—Rees格式84

2-4-3 Courant—Friedrichs—Lewy条件86

2—5 非线性守恒律，Lax-Wendroff差分格式88

2—6 守恒律方程组的一些常用差分格式90

2-6-1 Friedrichs—Lax格式90

2-6-2 两步Lax—Wendroff格式90

2-6-3 MacCormack格式，两步Lax—Wendroff格式的推广91

2—7 多空间变量的一阶双曲型方程组Lax—Wendroff格式及strang格式93

2—8 两个空间变量守恒律方程组的多步计算格式96

2—9 两步Lax—Wendroff差分格式应用于气体动力学方程组的稳定性分析98

2—10 二阶线性双曲型方程差分方法102

2-10-1 显式差分格式102

2-10-2 隐式差分格式105

习题106

第三章椭圆型方程109

3—1 正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问题的差分模拟109

3—2 Neumann边值问题的差分模拟111

3—3 混合边值条件114

3—4 非矩形区域116

3—5 极坐标形式的差分格式117

3—6 矩形区域上的Poisson方程的五点差分逼近的敛速分析118

3—7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究121

3—8 椭圆型差分方程的迭代解法129

3-8-1 迭代法的基本理论130

3-8-2 Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代132

3-8-3 椭圆型方程差分格式的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代收敛速度计算举例134

3-8-4 超松弛迭代法138

3-8-4-1 逐次超松弛迭代法138

3-8-4-2 相容次序、性质(A)和最佳松弛因子的确定139

3-8-4-3 收敛速度145

习题147

参考书目150