《广义逆矩阵引导论》求取 ⇩

第一章矩阵论1

1.1线性算子与矩阵1

1.1.1 基本概念1

1.1.2 可逆算子2

1.1.3 线性算子的秩和线性方程组4

1.1.4 线性算子的矩阵表示6

1.1.5 常用线性算子10

1.2广义初等矩阵16

1.2.1 初等矩阵和阶梯形矩阵16

1.2.2 广义初等矩阵20

1.2.3 初等消去矩阵21

1.2.4 初等直交矩阵22

1.3矩阵分解24

1.3.0 三角分解24

1.3.1 满秩分解25

1.3.2 直交分解26

1.3.3 谱分解30

1.3.4 若当分解33

1.3.5 奇异值分解37

1.3.6 极分解40

1.4特征值理论初步41

1.4.1 一般矩阵的特征值41

1.4.2 自伴随矩阵的特征值42

1.4.3 特征值的变分原理43

1.4.4 特征值的摄动和奇异值的摄动49

1.5投影算子53

1.5.1 空间直接和分解53

1.5.2 等幂算子56

1.5.3 投影算子的定义和性质57

1.5.4 投影算子与可对角化矩阵的谱分解61

1.5.5 投影算子的和、差、积65

1.5.6 投影算子的矩阵表示68

1.6直交投影算子69

1.6.1 直交投影算子的定义和性质69

1.6.2 直交投影算子与部分等距74

1.6.3 直交投影算子和谱分解76

1.6.4 直交投影算子的和、差、积80

1.6.5 直交投影算子的矩阵表示80

1.6.6 两个直交投影算子的关系81

1.6.7 直交投影算子乘积的特征值85

1.7算子的微分87

1.7.1 Gateaux导数88

1.7.2 Frechet导数90

1.7.3 中值定理93

习题96

第二章广义逆矩阵的基本理论104

2.1左逆矩阵与右逆矩阵104

2.1.1 满秩矩阵与单侧逆104

2.1.2 左逆矩阵和右逆矩阵的通式106

2.1.3 满秩矩阵的性质107

2.2广义逆矩阵A+的定义和基本性质108

2.2.1Moore-Penrose广义逆A+的定义108

2.2.2 Moore-Penrose广义逆A+的基本性质111

2.3广义逆矩阵A-115

2.3.1 {1}-逆A-的定义和基本性质115

2.3.2 {1}-逆的通式和相容线性方程组的通解122

2.4反射广义逆A？127

2.4.1 反射广义逆A？的定义和性质127

2.4.2 {1，2}-逆的通式129

2.4.3 具有指定象空间和零空间的{1，2}-逆130

2.5极小范数广义逆A？135

2.5.1 A？的定义和相容线性方程组的极小范数解135

2.5.2 极小范数广义逆的表征和通式138

2.6最小二乘广义逆A？140

2.6.1 A？的定义和不相容线性方程组的最小二乘解140

2.6.2 最小二乘广义逆的表征和通式144

2.7广义逆A+与不相容线性方程组的极小范数最小二乘解148

2.7.1线性方程组Ax=b的极小范数最小二乘解148

2.7.2A+的进一步的理论性质157

2.7.3A+的反序法则162

2.7.4 利用阶梯形计算A+165

2.8加权广义逆169

2.8.1 加权广义逆169

2.8.2 关于加权广义逆的结果171

2.8.3 通过变换考虑加权问题175

2.8.4 加权问题的应用178

2.9限制广义逆179

2.9.1 限制广义逆179

2.9.2 Boot-Duffin逆183

2.9.3 Boot-Duffin逆在电网络中的应用187

习题188

第三章广义逆矩阵的计算理论197

3.1广义逆矩阵A+的表示定理及其应用197

3.1.1 广义逆矩阵A+的表示定理197

3.1.2 应用表示定理推导一阶迭代法200

3.1.3 应用表示定理推导二阶迭代法204

3.1.4 应用表示定理推导高阶迭代法205

3.1.5T？正则化207

3.1.6 进—步讨论A+的表示式208

3.2分块矩阵的广义逆210

3.2.1 Nobel分块210

3.2.2 Greville分块212

3.2.3 Cline分块217

3.2.4 三角形分块219

3.2.5 分块矩阵的{1}-逆和{1，2}-逆223

3.3加边矩阵和修改矩阵的广义逆228

3.3.1 加边矩阵的广义逆228

3.3.2 修改矩阵的广义逆239

3.4求广义逆矩阵的加边法及线性方程组解的Cramer法则242

3.4.1 引言242

3.4.2 加边法的几个定理246

3.4.3 利用加边法推导线性方程组解的Cramer法则250

3.5Drazin逆255

3.5.1 矩阵指标的定义和性质257

3.5.2 Drazin逆的定义和性质259

3.5.3 群逆266

3.5.4 Drazin逆和群逆的谱性质270

3.5.5 Drazin逆的计算274

3.5.6 用极限表示Drazin逆279

3.6广义逆矩阵的微分281

3.6.1 矩阵函数的导数281

3.6.2直交投影矩阵的微分281

3.6.3 Moore-Penrose广义逆A+的微分282

3.6.4 Drazin逆的微分285

习题287

第四章广义逆矩阵的摄动理论294

4.1逆矩阵的摄动294

4.1.1 逆矩阵的摄动294

4.1.2 线性方程组解的误差估计296

4.2广义逆矩阵的连续性299

4.2.1 满秩矩阵广义逆的连续性299

4.2.2 一般亏秩矩阵的广义逆是不连续的300

4.2.3 广义逆矩阵连续性的两个定理302

4.2.4 矩阵的保秩变形305

4.3广义逆矩阵的摄动理论307

4.3.1 酉不变范数307

4.3.2 投影矩阵范数的一些性质309

4.3.3 广义逆矩阵的一般摄动定理317

4.3.4 rank(B)=rank(A)情形广义逆矩阵的摄动定理320

4.3.5 极小范数最小二乘解的摄动324

4.3.6 投影算子的摄动327

4.4广义逆矩阵的锐角摄动331

4.4.1 锐角摄动的定义与性质331

4.4.2 广义逆的锐角摄动定理335

4.4.3 锐角摄动情形最小二乘解的摄动340

4.4.4 锐角摄动情形投影矩阵的摄动344

习题346

第五章求广义逆矩阵的常用计算方法348

5.1满秩分解方法348

5.1.1 Gauss消去法349

5.1.2 Householder变换方法352

5.1.3 修改的Gram-Schmidt直交化方法358

5.1.4 最小二乘解的迭代改进363

5.2直交化方法365

5.2.1 直交化方法的动机365

5.2.2 定理和计算公式366

5.3Greville方法368

5.3.1 Greville方法是G-S直交化过程的一种实现形式368

5.3.2 选主元对Greville方法是至关重要的370

5.4奇异值分解方法371

5.4.1 引言371

5.4.2 Givens变换和求特征值的QR方法372

5.4.3 求奇异值分解的两阶段方法374

5.4.4 利用奇异值分解计算广义逆和解最小二乘问题378

5.5迭代法380

5.5.1 一阶迭代法380

5.5.2 高阶迭代法384

5.5.3 一阶迭代法与高阶迭代法之间的关系386

5.5.4 二阶迭代法及其数值性质390

5.6计算广义逆的试验矩阵396

5.6.1 引言396

5.6.2 指定奇异值方法及其产生的试验矩阵396

5.6.3 参数矩阵方法及其产生的试验矩阵400

5.6.4 其他试验矩阵406

习题408

第六章广义逆矩阵的应用411

6.1解非线性方程组411

6.1.1 引言411

6.1.2 广义牛顿迭代及其收敛性411

6.2解约束最小二乘和非线性最小二乘问题415

6.2.1 解约束最小二乘问题415

6.2.2 解非线性最小二乘问题的高斯-牛顿法422

6.2.3 解非线性最小二乘问题的Levenberg-Marquardt方法426

6.2.4 几点注记427

6.3解不适定问题的正则化方法429

6.3.1 引言429

6.3.2 情形Ⅰ的正则化方法及正则解的性态432

6.3.3 情形Ⅱ的正则化方法及正则解的性态436

6.4区间线性规划问题的显式解442

6.4.1 区间线性规划问题442

6.4.2 区间线性规划问题的最优解444

6.4.3 有上界变量的线性规划问题的最优解445

6.5线性规划中的广义逆448

6.5.1 线性规划的对偶性448

6.5.2 用广义逆描述线性规划对偶性的特征451

6.5.3 标准线性规划问题等价的特征向量表示453

6.6二次规划中的广义逆456

6.6.1 等式约束二次规划456

6.6.2 利用加权广义逆研究正定二次规划459

6.7一般约束最优化中的广义逆462

6.7.1 解线性等式约束问题的广义牛顿法463

6.7.2 解非线性等式约束问题的广义牛顿法465

6.7.3 一类罚函数法466

6.8拟牛顿公式的统一推导468

6.8.1 拟牛顿法468

6.8.2 最小改变割线校正公式470

6.8.3 对称拟牛顿校正公式的统一推导474

6.9可分变量的非线性最小二乘问题477

6.9.1 可分变量的非线性最小二乘问题477

6.9.2 有可分非线性约束的可分最小二乘问题481

6.10 奇异情形的最大似然估计482

6.11 广义逆在线性估计理论中的应用485

参考文献491

附录：国内学者在广义逆方面的主要论著500