《高等几何》

第一章变换与仿射几何1

1变换1

2仿射变换的定义和性质3

3仿射变换基本定理7

4仿射变换的代数表示11

4.1仿射坐标系11

4.2仿射变换的代数表示12

4.3仿射变换的解析特征14

5正交变换和相似变换16

5.1正交变换（等距变换）16

5.2相似变换20

6图形的仿射性质，图形间的仿射等价21

6.1图形的仿射性质21

6.2图形间的仿射等价23

6.3仿射变换在初等几何中的应用举例26

7变换群和几何学29

7.1变换群的概念29

7.2变换群的几何学30

习题一34

第二章射影平面36

1中心射影和无穷远元素36

1.1中心射影36

1.2无穷远元素37

1.3扩大平面上点的齐次仿射坐标38

1.4扩大平面上的仿射标架42

2射影平面43

3平面射影坐标系49

3.1点的射影坐标49

3.2直线方程和直线坐标52

3.3齐次射影坐标的运算55

3.4射影坐标变换57

3.5扩大平面上仿射坐标与射影坐标的关系60

4平面对偶原理61

4.1平面射影几何对偶原理61

4.2对偶图形，三点形和完全四点形63

4.3代沙格定理65

5交比69

5.1射影平面上四元素交比的定义和性质70

5.2完全四点形的调和性质75

习题二78

第三章射影变换82

1一维射影对应82

1.1一维透视对应82

1.2一维射影对应83

1.3一维射影映射成为透视的条件86

2直射88

2.1直射的定义和性质88

2.2直射的代数表示90

2.3直射的基本不变性96

3对射与配极97

3.1对射97

3.2配极98

3.3极线方程，配极原则99

习题三101

第四章二次曲线的射影理论103

1配极和二次曲线103

11二阶曲线和二级曲线103

1.2非退化二阶曲线和二级曲线104

1.3直线与非退化二阶曲线的位置关系，切线105

1.4配极共轭与调和共轭109

1.5退化二阶曲线的奇异点112

2二阶曲线的射影分类113

3二次曲线的射影定义118

3.1非退化二次曲线的射影定义119

3.2巴斯加定理和布利安香定理124

3.3二次曲线的射影定义129

习题四131

第五章射影几何在初等几何中的应用134

1关于射影概念的初等几何意义134

1.1交比的初等几何意义134

1.2调和点组与中点，调和线组与角平分线136

1.3关于圆的配极137

2初等几何命题的射影证明139

2.1共线点和共点线问题139

2.2直尺作图141

2.3共线线段的比143

2.4中点和角平分线问题144

3射影方法与初等方法146

4初等几何命题的发现150

5配极在解析几何中的应用154

习题五157

第六章实射影几何的子几何160

1仿射几何作为射影几何的子几何160

2二阶曲线的仿射性质163

2.1二阶曲线的仿射类型163

2.2中心，直径，渐近线167

3相似几何与欧氏几何作为射影几何的子几何173

3.1复射影平面174

3.2实射影平面与复射影平面的关系174

3.3相似变换群的绝对形，圆点和迷向直线177

3.4拉格尔定理180

4长圆曲线的度量性质182

4.1主轴182

4.2焦点与准线183

习题六187

第七章度量几何188

1欧氏、伽氏和闵氏向量空间188

2伽里略几何和闵可夫斯基几何191

2.1二维闵可夫斯基向量空间192

2.2平面闵可夫斯基几何简介196

2.3平面伽里略几何简介199

3椭圆几何202

3.1椭圆平面上的度量202

3.2椭圆几何207

4双曲几何209

4.1三维闵可夫斯基向量空间，双曲平面209

4.2双曲平面上的度量，射影测度212

4.3双曲几何简介216

5九种平面几何220

6黎曼流形222

习题七226

第八章几何基础简介228

1公理法大意228

1.1公理法228

1.2公理系统的相容性、独立性和完备性231

2仿射几何的公理系统232

2.1n维仿射几何的公理系统232

2.2仿射空间与向量空间234

2.3 n维欧氏几何的公理系统235

3欧氏几何的希尔伯特公理系统236

3.1结合公理及其推论237

3.2顺序公理及其推论239

3.3合同公理243

3.4连续公理和平行公理244

3.5欧几里得第五公设问题与非欧几何247

4射影几何的公理系统248

习题八253

附录n维射影空间254