《工程数学 线性代数·计算方法》

目 录2

线性代数2

第一章行列式与n阶线性方程组2

§1.1线性方程组的概念2

§1.2三阶行列式及其性质5

（一）三阶行列式及其展开式 （二）三阶行列式的性质§1.3 n阶行列式12

（一）三阶行列式的拉普拉斯（Laplace）展开式 （二）n阶行列式的概念和计算 *（三）拉普拉斯定理§1.4解n阶线性方程组的克莱姆法则26

习题一32

第二章 n维向量36

§2.1向量及其基本运算36

（一）n维向量的概念 （二）n维向量的运算42

§2.2向量组的线性相关性42

（一）线性相关和线性无关 （二）线性组合 （三）线性相关与线性组合的关系（四）线性相关性的一些判别法*§2.3 n维向量空间47

习题二53

第三章矩阵57

§3.1矩阵的概念57

（一）实例（二）矩阵的定义（三）一些特殊的矩阵65

（四）方阵的行列式和非奇异方阵65

§3.2矩阵的秩65

（一）矩阵的秩及其求法之一（二）矩阵的初等变换74

和秩的求法之二74

习 题三74

第四章矩阵的运算76

§4.1矩阵的乘法76

（一）矩阵相等（二）矩阵的乘法（三）方阵的正整数次幂（四）矩阵乘积的转置（五）方阵乘积的行列式 （六）线性变换的矩阵写法§4.2矩阵的加法和数与矩阵的乘法86

（一）矩阵的加法（二）数与矩阵的乘法（三）矩阵的减法§4.3逆阵及其求法88

（一）逆阵的概念（二）逆阵的求法之一（三）逆阵的求法之二（四）关于逆阵运算的若干结果（五）正交矩阵和正交变换*§4.4分块矩阵及分块求逆105

*§4.5函数矩阵的微分、积分大意112

（一）分块矩阵的概念（二）分块矩阵的运算112

（三）矩阵的分块求逆（四）其他类型的分块矩阵112

（一）函数矩阵的概念（二）函数矩阵的微分法115

（三）函数矩阵的积分115

习题 四115

第五章线性方程组120

§5.1线性方程组120

（一）方程组（1.1.1）的相容性及其判别法 （二）相容线性方程组的解法之一——行列式解法 （三）相容线性方程组的解法之二——消去法 （四）n阶线性方程组的解法§5.2齐次线性方程组132

（一）齐次线性方程组（1.1.2）的解法（二）n阶齐次线性方程组（1.1.4）的解法§5.3非齐次线性方程组的解的结构138

习题五140

第六章二次型和矩阵的特征值143

§6.1二次型及其矩阵表达式143

（一）二次型的概念 （二）二次型的标准形式 （三）二次型的矩阵表达式§6.2化二次型为标准形式的拉格朗日方法148

（一）二次型经过线性变换后的矩阵 （二）二次型在满秩线性变换下的标准形式 （三）惯性定律§6.3有定二次型161

（一）有定二次型的概念（二）有定二次型的判别法165

*§6.4二次型在正交变换下的标准形式矩阵的特征值165

（一）相似矩阵的概念与性质（二）二次型在正交变换下的标准形式矩阵的特征值*§6.5方阵和它的特征多项式的关系176

（一）方阵多项式及其性质（二）哈密顿－凯莱定理184

（三）哈密顿－凯莱定理的应用举例184

习题六184

*第七章线性空间简介186

§7.1线性空间的概念186

§7.2线性空间的基、维数和子空间188

§7.3线性空间的线性变换203

§7.4爱尔密特矩阵和酉矩阵211

习 题七215

§8.1和式的简洁记号与应用220

*第八章张量概念220

§8.2张量定义225

（一）逆变张量（二）协变张量（三）混合张量229

§8.3张量运算229

（一）张量加法（二）张量乘法（三）张量缩法233

（四）矩阵的追迹233

习题答案233

计算方法240

第一章误差知识240

§1.1绝对误差、有效数字、相对误差241

§1.2和、差、积、商的误差估计244

（一）和、差的误差估计（二）积、商的误差估计247

习题一247

第二章方程的近似解法248

§2.1对分法252

§2.2迭代法254

§2.3牛顿法259

习题二263

第三章线性代数计算方法264

§3.1解线性方程组的精确法264

（一）主元素消去法（二）无回代过程的主元素消去法§3.2主元素消去法的应用275

（一）用主元素消去法解线性方程组系（二）用主元素消去法求逆矩阵（三）用主元素消去法求行列式的值§3 3解线性方程组的迭代法279

（一）简单迭代法及其收敛条件（二）赛德尔迭代法及其收敛条件（三）化方程组AX=B为便于使用迭代法的形式§3 4矩阵特征值的计算方法293

（一）求绝对值最大的特征值的幂法（二）求解实对称矩阵特征值问题的雅可比方法习题三312

第四章插值法314

§4.1线性插值与二次插值316

§4.2均差、均差插值公式320

§4 3等距结点插值公式、差分329

（一）均差的概念均差表（二）均差插值多项式329

（三）插值多项式的余项329

（一）差分概念与差分表（二）差分与均差及导数的关系（三）等距结点插值公式§4.4拉格朗日插值多项式335

§4.5三次样条插值341

（一）三次样条函数的定义（二）系数用节点处的二阶导数表示的三次样条函数（三）系数用节点处的一阶导数表示的三次样条函数（四）解三对角线方程组的追赶法习题 四353

第五章曲线拟合与最小二乘法355

§5.1最小二乘法355

§5.2多项式拟合359

习题五365

第六章数值微分与数值积分366

§6.1数值微分366

（一）用插值多项式求数值导数（二）用三次样条函数求数值导数§6.2数值积分369

（一）牛顿－柯特斯公式 （二）复化求积公式 （三）求积公式的截断误差 （四）步长的自动选择 （五）线性加速法龙贝格求积公式 *（六）高斯求积公式习题六396

§7.1欧拉折线法与改进的欧拉方法397

第七章常微分方程初值问题的数值解法397

（一）欧拉折线法（二）改进的欧拉方法404

（三）公式的截断误差404

§7.2龙格－库塔方法404

§7.3阿当姆斯方法409

（一）阿当姆斯内插公式（二）阿当姆斯外插公式（三）计算中估计误差的一种方法（四）求开头三个点的函数值的方法习题七416

第八章偏微分方程的差分解法417

§8.1椭圆型方程的差分解法介绍418

（一）微分方程的差分近似的建立（二）边界条件的转换（三）差分方程的解法及解的收敛性讨论§8.2用差分法求解热传导方程431

§8.3波动方程的差分解法介绍440

习题八445

习题答案446