《变分法》

序言1

第1章 变分法的概念1

1 泛函和泛函的极值1

1.1 实例1

1.2 泛函和泛函的极值4

2 基本引理8

习题110

第2章 固定边界的变分问题12

1 欧拉(Euler)方程12

1.1 欧拉方程的推导12

1.2 欧拉方程的几种特殊情况15

1.3 捷线问题的近似解23

2 含多个未知函数的变分问题25

3 含高阶导数的变分问题29

4 参数形式的变分问题33

5.1 泛函的一阶变分38

5 泛函的变分38

5.2 极值必要条件的变分表示43

5.3 泛函的二阶变分45

习题250

第3章 变动边界的变分问题55

1 变动端点变分问题的自然边界条件55

2 变动端点变分问题的横截条件59

2.1 横截条件59

2.2 一阶变分的一般形式62

2.3 三维空间的横截条件66

习题368

第4章 重积分的变分问题71

1 固定边界问题71

2 变动边界问题与自然边界条件78

习题480

第5章 泛函的条件极值问题82

1 短程线问题82

2 等周问题91

3 哈密顿(Hamilton)原理99

习题5104

第6章 泛函极值的充分条件108

1 泛函弱极值的充分条件108

1.1 雅可比(Jacobi)方程109

1.2 雅可比判定法112

1.3 欧拉方程与雅可比方程解的联系114

2 泛函强极值的充分条件117

2.1 极值曲线场118

2.2 维尔斯特拉斯(Weierstrass)函数119

2.3 强极值的充分条件121

习题6124

第7章 变分原理125

1 预备知识125

1.1 函数的内积125

1.2 微分算子128

2 与自共轭微分方程边值问题等价的变分问题135

2.1 构造泛函135

2.2 二次泛函的变分原理137

2.3 非齐次边界条件139

2.4 高阶方程的情形141

3 与自共轭偏微分方程边值问题等价的变分问题142

3.1 狄里克雷(Dirichlet)问题143

3.2 诺伊曼(Neumann)问题145

3.3 洛平(Robin)问题147

3.4 非齐次边界条件150

习题7152

1.1 里兹法的基本思想157

第8章 变分问题的近似解法157

1 里兹法157

1.2 二阶自共轭微分方程边值问题的里兹法163

1.3 二阶自共轭偏微分方程边值问题的里兹法169

2 伽辽金法178

3 有限元法介绍186

习题8195

习题答案198