《变分学》

序言1

第1章 定积分的驻值1

1-1 泛函极值问题的几个简单例子1

1-2 泛函·泛函极值和驻值问题的提法4

1-3 泛函的驻值问题与微分方程边值问题7

1-4 定积分∫baF(x,y,y′)dx的驻值7

1-5 强制边界条件和自然边界条件14

1-6 可动边界点的情况16

1-7 泛函的高阶变分·泛函取极值的充分条件20

1-8 涉及高阶导数的定积分的驻值23

1-9 涉及多个自变函数的定积分的驻值27

1-10 自变函数的连续性和强制边界条件的分类29

1-11 重积分的驻值33

1-12 涉及高阶导数的重积分的驻值38

1-13 参数小变化对积分的驻值和驻值函数的影响41

1-14 变分学的基本命题和对偶空间46

第2章 带有附加条件的定积分的驻值50

2-1 多自变量函数的条件驻值56

2-2 带有定积分约束的定积分的驻值56

2-3 带有微分方程约束的定积分的驻值64

2-4 对拉格朗日乘子法的补充说明68

2-5 勒让德变换75

2-6 定积分驻值问题的几种标准形式77

2-7 罚函数的应用81

第3章 本征值的瑞利商变分式84

3-1 本征值问题和瑞利商变分式84

3-2 本征解的几个重要特性91

3-3 增加约束对本征值的影响95

3-4 迭代法及其收敛性98

3-5 本征值的包含定理100

3-6 参数小变化对本征值的影响103

3-7 变剖面梁优化设计举例111

第4章 变分问题的直接近似解法简介118

4-1 经典里兹法118

4-2 坎托洛维契法125

4-3 欧拉差分法和有限单元法128

4-4 二维问题的有限单元法·协调单元·部分协调单元和过分协调单元130

4-5 有限条法133

4-6 增元降阶法134

4-7 有限单元法与配点法的结合应用136

4-8 有限单元法的收敛性137

附录 部分习题的解和提示139