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第一章 有限元法引论1

1.1 基本概念1

1.2 历史概况1

1.3 方法的通用性2

1.3.1 一维热传导2

1.3.2 一维流体流动4

1.3.3 受轴向荷载作用的实心杆4

1.4 有限元法的工程应用4

1.5 有限元法概述6

目录9

主要符号9

1.6 有限元法与其他分析方法的比较16

1.6.1 梁振动运动方程的推导？16

1.6.2 准确的解析解（分离变量法）17

1.6.3 近似的解析解（瑞利法）18

1.6.4 近似的解析法（迦辽金法）20

1.6.5 数值解的有限差分法22

1.6.6 数值解的有限元法（位移法）24

1.7 有限元程序包27

习题27

第二章 有限元方程组的解法29

2.1 引言29

2.2 平衡问题的解法30

2.2.1 高斯消去法31

2.2.2 乔列斯基法35

2.2.3 其他方法39

2.3 特征值问题的解法40

2.3.1 雅可比法42

2.3.2 幂法44

2.3.3 瑞利-李兹子空间迭代法49

2.3.4 其他方法57

2.4 传播问题的解58

2.4.1 方程（2.56）的数值解59

2.4.2 方程（2.58）的数值解62

习题69

第三章 有限元方法的一般步骤73

3.1 定义域的离散化73

3.1.1 基本单元形状74

3.1.2 离散过程75

3.2 插值多项式83

3.2.1 插值函数的多项式形式83

3.2.2 插值多项式阶次的选择86

3.2.3 收敛性要求88

3.2.4 用整体坐标表示的线性插值多项式90

3.2.5 用局部坐标系表示的线性插值函数98

3.3 单元特征矩阵和特征向量的建立106

3.3.1 直接法106

3.3.2 变分法112

3.3.3 加权余量法126

3.3.4 坐标变换133

3.4 单元矩阵和向量的集合以及系统方程的推导134

3.4.1 单元方程的集合134

3.4.2 集合过程的计算机实现139

3.4.3 边界条件的引入141

3.4.4 在计算机程序中引入边界条件143

3.6 单元结果的计算144

3.5 有限元（系统）方程组的解144

习题145

第四章 高次单元和等参单元的计算公式148

4.1 引言148

4.2 高次一维单元148

4.2.1 二次单元148

4.2.2 三次单元149

4.3 用自然坐标表示的高次单元150

4.3.1 一维单元150

4.3.2 二维单元（三角形单元）152

4.3.3 结点插值函数的推导154

4.3.4 三维单元（四面体单元）156

4.3.5 二维单元（四边形单元）158

4.3.6 三维单元（六面体单元）161

4.4 用经典插值多项式表示的高次单元164

4.4.1 经典插值函数164

4.4.2 一维单元169

4.4.3 二维单元：矩形单元171

4.5 连续性条件173

4.6 单元的比较研究175

4.7 等参单元175

4.7.1 定义175

4.7.2 坐标变换中的形状函数177

4.7.3 曲边单元178

4.7.4 单元方程的推导180

4.8 数值积分183

4.8.1 一维情况183

4.8.2 二维情况184

4.8.3 三维情况186

习题187

第五章 固体力学和结构力学189

5.1 引言189

5.2 固体力学的基本方程189

5.2.1 引言189

5.2.2 外部的平衡方程190

5.2.3 内部的平衡方程190

5.2.4 应力-应变关系（本构关系）191

5.2.5 应变-位移关系196

5.2.6 边界条件197

5.2.7 协调方程198

5.2.8 各向异性材料的应力-应变关系199

5.2.9 固体力学和结构力学公式的建立201

5.3 平衡方程的建立205

静力分析205

5.4 桁架及框架的分析209

5.4.1 空间桁架单元209

5.4.2 空间框架单元216

5.4.3 平面框架单元225

5.4.4 梁单元226

5.4.5 框架分析的计算机程序（FRAME）226

5.5 板的分析233

5.5.1 引言233

5.5.2 三角形薄膜单元234

5.5.3 薄膜单元的数值结果239

5.5.4 平面内荷载作用下板的计算机程序（CST）243

5.5.5 板的弯曲性质249

5.5.6 三角形弯曲板单元252

5.5.7 弯曲单元的数值结果256

5.5.8 用板单元分析三维结构259

5.5.9 用板单元分析三维结构的计算机程序（PLATE）262

5.6 三维问题的分析262

5.6.1 引言262

5.6.2 四面体单元262

5.6.3 六面体单元265

5.6.4 数值计算结果269

5.7 旋转体的分析269

5.7.1 引言269

5.7.2 轴对称环单元的单元方程的建立270

5.7.3 数值结果273

5.7.4 计算机程序（STRESS）274

5.8 运动的动力方程280

动力分析280

5.9 一致的和集中的质量矩阵282

5.10 整体坐标系中的一致质量矩阵283

5.10.1 铰接（空间桁架）单元的一致质量矩阵284

5.10.2 框架单元的一致质量矩阵285

5.10.3 三角形薄膜单元的一致质量矩阵287

5.10.4 三角形弯曲单元的一致质量矩阵287

5.10.5 四面体的一致质量矩阵289

5.11 自由振动分析289

5.12 三维结构特征值分析的计算机程序（PLATE）296

5.13 特征值问题的凝聚（特征值缩减）308

5.14 用有限元法进行动力响应计算312

5.14.1 无阻尼系统运动方程的解耦313

5.14.2 阻尼系统运动方程的解耦314

5.14.3 一般二阶微分方程的解315

5.15 非保守的稳定性和颤振问题320

习题320

第六章 热传导324

6.1 引言324

6.2 热传导的基本方程324

6.2.1 能量平衡方程324

6.2.2 速率方程324

6.2.3 三维体中热传导的控制微分方程325

6.2.4 用微分方程形式表述问题328

6.3 有限元方程的推导328

6.3.1 变分法328

6.3.2 迦辽金法331

6.4.1 等截面直散热片分析333

6.4 一维热传导333

6.4.2 锥形散热片分析341

6.4.3 用二次元分析等截面直散热片344

6.5 二维热传导347

6.6 轴对称热传导361

6.7 三维热传导372

6.8 非稳态热传导问题376

6.8.1 单元热容量矩阵的推导377

6.8.2 时域问题中的有限差分法381

6.9 有辐射的热传导问题383

习题389

第七章 流体力学391

7.1 引言391

7.2 流体力学的基本方程391

7.2.1 定义391

7.2.2 流场392

7.2.3 连续方程393

7.2.4 运动方程或动量方程394

7.2.5 能量方程398

7.2.6 状态方程与粘性方程400

7.2.7 解法400

7.2.8 无粘性流体流动400

7.2.9 无旋流动401

7.2.10 速度势402

7.2.11 流函数403

7.3 无粘性不可压缩流动405

7.3.1 势函数公式406

7.3.2 流函数公式412

7.3.3 计算机程序（PHIFLO）414

7.4 多孔介质中的流动417

7.4.1 控制方程418

7.4.2 有限元解419

7.4.3 通过坝体的稳定无限制流动420

7.4.4 流向水井壁的稳定流动420

7.5 浅水池的波浪运动421

7.5.1 运动方程421

7.5.2 边界条件和初始条件422

7.5.3 用迦辽金法求方程（7.133）的有限元解423

7.5.4 特征值解426

7.6 不可压缩粘性流动427

7.6.1 问题的表述427

7.5.5 用振型叠加法求方程（7.161）的解427

7.6.2 流函数公式（用变分法）428

7.6.3 速度-压力公式（用迦辽金法）432

7.6.4 流函数-速度公式436

7.7 非牛顿流体的流动438

7.7.1 控制方程438

7.7.2 用迦辽金法的有限元方程439

7.7.3 解法440

习题442

第八章 有限元法的其他应用与推广444

8.1 引言444

8.2 稳态场问题444

8.3 瞬态场问题446

8 4 空-时有限元448

8.5 泊松方程的解449

8.5.1 扭转问题控制方程的推导449

8.5.2 有限元解451

8.5.3 计算机程序（TORSON）455

8.6 亥姆霍兹方程的解457

8.7 雷诺方程的解461

8.7.1 液动润滑问题461

8.7.2 有限元方程462

8.8 最小二乘有限元法465

8.8.1 一般线性偏微分方程的解465

8.8.2 非稳态气体动力方程的解468

8.9 平衡、混合和杂交单元472

8.10 各种应用472

习题473

附录A：格林-高斯定理（二维和三维的分部积分）474

参考文献476

7.2.12 伯努利方程484