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第一篇 矩阵与线性代数1

第一章 矩阵的基本概念1

1.1 引言1

1.2 矩阵初步1

目录1

1.3 特殊矩阵2

1.4 矩阵相等、相加和矩阵与数相乘4

1.5 矩阵的乘法5

1.6 逆矩阵9

1.7 矩阵的分块11

1.8 矩阵的迹和矩阵的行列式13

第二章 向量、矩阵和张量16

参考文献16

2.1 引言17

2.2 向量空间、子空间和矩阵的生成17

2.3 线性变换的矩阵表示法22

2.4 基的改变25

2.5 变分式的矩阵表示法27

2.6 张量的定义33

2.7 A为对称矩阵时的特征问题Av＝λv37

2.8 瑞利商和特征值的极小极大特性47

2.9 向量模和矩阵模52

第二篇 有限元法56

第三章 工程分析的某些基本概念56

参考文献56

3.1 引言57

3.2 离散系统的分析57

3.2.1 稳态问题58

3.2.2 传播问题65

3.2.3 特征值问题67

3.2.4 解的性质73

3.3 连续系统的分析78

3.3.1 微分公式78

3.3.2 变分公式82

3.3.3 加权残数法；Ritz法86

3.4 约束的施加94

第四章 有限元法的表述——固体力学和结构力学中的线性分析97

参考文献97

4.1 引言98

4.2 基于位移的有限元表述98

4.2.1 有限元平衡方程组的一般推导102

4.2.2 边界条件的利用120

4.2.3 某些具体问题的广义坐标模型123

4.2.4 结构特性和荷载的集中140

4.2.5 分析结果的收敛性142

4.2.6 应力计算151

4.3 非协调有限元、混合有限元和杂交有限元模型、有限差分法152

4.3.1 非协调模型152

4.3.2 混合模型和杂交模型154

4.3.3 有限差分的微分法和能量法158

第五章 等参有限元矩阵的建立和计算162

参考文献162

5.1 引言165

5.2 杆单元刚度矩阵等参公式的推导165

5.3 连续介质单元的表述167

5.3.1 矩形单元167

5.3.2 三角形单元189

5.3.3 整体坐标系中的单元矩阵198

5.4 结构单元的表述202

5.4.1 梁单元202

5.4.2 板单元和壳单元219

5.5 收敛性问题227

5.5.1 连续介质单元227

5.5.2 各种结构单元229

5.6.1 不同插值方法的应用231

5.6 相关单元簇231

5.6.2 非协调模式的引入232

5.7 数值积分233

5.7.1 多项式插值233

5.7.2 Newton-Cotes公式（一维积分）234

5.7.3 高斯公式（一维积分）238

5.7.4 二维和三维积分241

5.8 等参单元计算中的实用考虑243

5.8.1 数值积分的应用243

5.8.2 应力的计算249

5.8.3 有关建立模型的一些考虑250

5.9 等参有限元计算机程序的实现254

第六章 固体力学和结构力学的有限元非线性分析257

参考文献257

6.1 非线性分析引言261

6.2 连续介质力学增量运动方程的表述272

6.2.1 基本问题272

6.2.2 应力和应变张量274

6.2.3 全量与修正的拉格朗日表述，仅材料非线性的分析290

6.3 等参有限元的离散化295

6.3.1 桁架单元和缆绳单元296

6.3.2 二维轴对称，平面应变和平面应力单元303

6.3.3 三维体单元309

6.3.4 梁单元309

6.3.5 板单元和壳单元320

6.4 本构关系的运用326

6.4.1 弹性材料特性327

6.4.2 有弹塑性和蠕变的非弹性材料特性332

6.5 一些实用上的考虑340

6.5.1 非线性分析的通用方法340

6.5.2 破坏和屈曲分析341

6.5.3 单元扭曲342

6.5.4 数值积分的阶343

参考文献348

第七章 热传导、场论和流体流动的有限元分析348

7.1 引言350

7.2 热传导分析350

7.2.1 经典的热传导控制方程350

7.2.2 逐步增量方程352

7.2.3 热传导方程的有限元离散化354

7.3 场论问题的分析359

7.3.1 渗流359

7.3.2 不可压缩的无粘性流360

7.3.3 扭转361

7.4 不可压缩粘性流体运动的分析363

7.4.1 速度-压力公式364

7.4.2 罚函数的表述366

参考文献368

第三篇 有限元平衡方程组的解法368

第八章 静力分析中平衡方程组的解法368

8.1 引言371

8.2.1 高斯消去法概述372

8.2 基于高斯消去法的直接解法372

8.2.2 高斯消去解法377

8.2.3 高斯消去法的计算机实现——有效列解法379

8.2.4 乔列斯基分解，静凝聚法、子结构法和波前法387

8.2.5 对称非正定系数矩阵方程组的解法396

8.3 用正交矩阵的直接解法407

8.3.1 吉文斯分解法407

8.3.2 豪斯霍尔德分解法411

8.4 高斯-塞德尔迭代法414

8.5 解的误差416

8.6 非线性方程组的解法423

8.6.1 牛顿-拉菲逊法424

8.6.2 BFGS方法425

8.6.3 收敛准则427

参考文献428

第九章 动力分析中平衡方程组的解法9.1 引言432

9.2 直接积分法432

9.2.1 中心差分法433

9.2.2 Houbolt法437

9.2.3 Wilson θ法439

9.2.4 Newmark法442

9.2.5 不同积分算子的耦合445

9.3 振型叠加法446

9.3.1 把基改变为振型的广义位移446

9.3.2 忽略阻尼的分析449

9.3.3 有阻尼的分析455

9.4 直接积分法的分析460

9.4.1 直接积分的逼近算子和荷载算子461

9.4.2 稳定性分析465

9.4.3 精度分析467

9.4.4 某些实用上的考虑470

9.5 动力分析中非线性方程组的解法472

9.5.1 显式积分472

9.5.2 隐式积分473

9.5.3 用振型叠加的解法475

9.6 各种非结构问题的解476

参考文献478

第十章 特征问题解法初步10.1 引言481

10.2 求解特征系的基本依据482

10.2.1 特征向量的性质483

10.2.2 特征问题Kφ＝λMφ及其相伴约束问题的特征多项式487

10.2.3 移位493

10.2.4 零质量的影响494

10.2.5 广义特征问题kφ＝λMφ化为标准特征问题的变换495

10.3 近似解法501

10.3.1 静凝聚501

10.3.2 Rayleigh-Ritz分析507

10.3.3 模态综合法514

10.3.4 Lanczos法517

10.4 解的误差519

参考文献525

第十一章 特征问题的解法525

11.1 引言527

11.2 向量迭代法528

11.2.1 反迭代法529

11.2.2 正向迭代法535

11.2.3 向量迭代法中的移位536

11.2.4 瑞利商迭代542

11.2.5 矩阵压缩和Gram-Schmidt正交化544

11.2.6 关于向量迭代法的一些实用上的考虑546

11.3 变换方法547

11.3.1 雅可比法548

11.3.2 广义雅可比法554

11.3.3 Householder-QR反迭代法561

11.4 多项式迭代法571

11.4.1 显式多项式迭代571

11.4.2 隐式多项式迭代572

11.5 基于Sturm序列性质的方法576

参考文献578

第十二章 大型特征问题的解法578

12.1 引言581

12.2 行列式搜索法582

12.2.1 初步考虑582

12.2.2 求解算法582

12.2.3 关于运用行列式搜索法的一些评述584

12.3 子空间迭代法586

12.3.1 初步考虑587

12.3.2 子空间迭代589

12.3.3 初始迭代向量591

12.3.4 收敛性594

12.3.5 子空间迭代法的实现595

12.3.6 关于子空间迭代法的一些评述604

参考文献605

附录 有限元法的实施A.1 引言607

A.2 计算结构矩阵的计算机程序的编制608

A.2.1 读入结点和单元信息608

A.2.2 单元刚度矩阵、质量矩阵和等效结点荷载的计算610

A.2.3 结构矩阵的集合610

A.3 单元应力的计算613

A.4 示例程序STAP613

A.4.1 计算机程序STAP的输入数据615

A.4.2 STAP源程序620

参考文献632