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前言1

第一章 实数及其上的映射1

§1 无理数与微积分危机1

1．自然数与有理数1

2．无理数和微积分的危机2

§2 一维连续统——实数4

1．数的连续性4

2．实数集的界与确界6

3．连通实数集合的规范表示8

§3 实数集上的映射9

1．映射9

2．单元函数——实数到实数的映射10

3．用四则运算和映射积构造新函数11

4．反函数12

5．函数的图象14

6．基元函数和初等函数18

7．隐式方程、参数和极坐标表示的函数24

练习题128

第二章 极限31

§1 离散变量的极限31

1．以正整数为定义域的函数——序列31

2．无穷小量32

3．序列的极限34

4．无穷大量37

5．夹逼收敛38

6．单调有界序列的收敛性39

7．超越数e40

8．n!与Euler常数C41

9．重要序列极限例举43

10．无穷小与无穷大的比较与级45

11．子序列与上、下极限47

练习题2．149

§2 连续变量的极限51

1．实数上的函数极限51

*2．连续变量极限的离散描述55

3．函数极限的运算法则和收敛判定准则56

4．几类基本的函数极限59

练习题2．267

§3 函数的连续与间断69

1．函数的连续与间断69

2．初等函数的连续性72

3．闭区间上的连续函数75

练习题2．377

第三章 微分法79

§1 变化率及其计算79

1．导数79

2．初等函数的求导法82

3．由参变量或由二元方程表示的隐函数的求导86

4．高阶导数87

5．微分——函数局部平直化91

练习题3．195

§2 微分学基本定理及应用98

1．微分学基本定理98

2．不定型极限102

3．函数的多项式局部拟合——泰勒公式106

4．函数的几何形态分析115

(A)曲线的极值与升降115

(B)曲线的拐点与凹凸117

(C)曲线的渐近性态120

(D)曲线弯曲度的定量描述——曲率122

练习题3．2125

1．非匀变过程和非规则形体的计算129

§1 积分的定义和性质129

第四章 积分法129

2．定积分的定义和性质131

*§2 函数的可积性133

1．可积性基本定理133

2．函数的可积性134

练习题4．1137

§3 牛顿—莱布尼茨公式139

§4 原函数的寻求141

1．不定积分的基本公式与运算法则141

2．换元积分法144

3．分部积分法148

4．有理函数的积分法150

*5．若干类无理函数的积分法152

练习题4．2158

1．定积分的换元与分部积分公式162

§5 定积分的计算与应用162

2．积分微元164

3．面积、弧长、体积165

4．质心、转动惯量和功172

练习题4．3175

§6 数值积分178

1．矩形公式和梯形公式178

2．辛普森(Simpson，T．)公式179

*3．龙贝格(Romberg，W．)外推公式180

*§7 广义积分181

1．无穷积分182

2．瑕积分189

练习题4．4192

第五章 动力机制的数学模型——微分方程194

§1 物理过程的定量描述194

1．质点的弹性振动195

2．RLC交变电路196

3．冷却与衰变197

4．人口增长198

5．溶液淡化199

6．二体运动(行星绕日运动)200

练习题5．1202

§2 微分方程的基本概念203

1．微分方程203

2．微分方程的解203

3．微分方程定解问题205

4．微分方程的方向场206

练习题5．2210

§3 一阶方程210

1．变量分离型方程210

2．齐次型方程214

3．线性方程与伯努利(Bernoulli)方程217

4．里卡蒂(Riccati，J．E．)方程218

5．用迭代法求近似解析解220

6．正交轨线221

练习题5．3222

§4 二阶方程223

1．二阶线性方程223

2．常数变异公式——线性系统输入输出转换机制的解析表示227

3．常系数线性方程(齐次)230

4．常系数线性方程(非齐次)231

5．RLC交流电路234

6．可降阶与可积二阶方程237

练习题5．4241

§5 微分方程组241

练习题5．5245

附 第五章练习题答案246