《简明微积分研究》

第一章极限方法1

1.1 基本事项及其注释1

1.1-1 极限的定义1

1.1-2 关于极限概念的一些注释3

一 从瞬时速度看函数在一点的极限3

二 函数在一点的两种值——极限值与函数值的区别与联系5

三 极限精确定义的两种等价形式6

四 诸种极限之间的异同比较6

五 极限运算与四则运算的比较8

六 有关极限的一些例子9

1.1-3 极限的一些性质12

1.1-4 关于极限性质的一些注释15

1.1-5 函数的连续性17

1.1-6 关于连续性的一些注释18

一 函数在一点连续性定义的三要素18

二 函数在一点连续性定义的几种等价的表述形式19

三 有关连续性的一些例子、不连续点20

四 关于函数极限定义的进一步注释22

1.2 极限与连续的基本理论选讲23

1.2-1 极限的精确定义23

1.2-2 用极限定义论证极限举例 注(关于用极限定义论证极限的特点与要点)26

1.2-3 用极限定义论证极限与连续的基本性质 注(关于用极限定义论证问题的一般特点)37

1.2-4 极限理论中一些基本定理的证明 注(区间套方法分析之一、之二)48

1.3 极限计算法71

1.3-0 未定式极限，关于极限类型的初步说明71

1.3-1 十类基本极限的计算法72

类型Ⅰ 一些基本极限72

类型Ⅱ 初等函数在定义区间上任意点处的极限73

类型Ⅲ 分段函数在“分点”的极限74

类型Ⅳ 代数式呈?型未定式的极限77

类型Ⅴ 代数式呈?型未定式的极限81

类型Ⅵ 代数式呈∞-∞型未定式的极限85

类型Ⅶ 含三角函数与反三角函数的未定式的极限87

类型Ⅷ 幂指式且呈1∞型未定式的极限90

类型Ⅸ 一些典型数列的极限92

类型Ⅹ 杂题101

1.3-2 求极限方法小结106

1.4 极限方法的初步应用109

1.4-1 无穷多项之和与无限小数109

1.4-2 初等几何图形的长度、面积与体积112

1.4-3 指数函数与对数函数若干基本性质的证明114

1.4-4 基本初等函数的特征性质116

第二章微分法124

2.1 基本事项及其注释124

2.1-1 导数的定义与基本初等函数的导数公式124

2.1-2 关于导数概念的一些注释124

一 导数概念的实际意义124

二 有限导数与无穷导数，非竖直的与竖直的切线126

三 双侧导数与单侧导数，双侧切线与单侧切线126

四 函数在一点连续与可导的比较130

五 导数是函数相对于自变量的局部变化率131

六 有关导数的几个例子132

2.1-3 导数的运算法则134

2.1-4 关于导数公式与法则的一些注释135

一 导数公式的一些特点135

二 弧度制与以 e 为底的指数函数与对数函数的优越性135

三 导数法则的一些特点136

四 导数公式与法则的一些特点(续)137

2.1-6 微分法的法则138

2.1-5 微分的定义与几何解释138

2.1-7 关于微分的一些注释139

一 关于导数与微分、可导与可微的比较139

二 微分与增量139

三 关于微分的形式不变性141

2.1-8 高阶导数与高数微分141

2.1-9 由微分中值定理导出的一些判别法与洛比塔法则142

2.1-10 关于判别法的一些注释145

一 微分中值定理及其在微积分学基本理论中的应用举例146

2.2 微分学基本理论选讲146

2.2-1 微分中值定理及其基本应用的规律性146

二 微分中值定理的一些基本应用及其规律性149

三 基本规律的例外155

四 小结156

2.2-2 拉格朗日定理证法研究156

一 “辅助函数”的一般表达式156

二～四 拉格朗日定理的证法之一～之三158

2.3 导数计算法162

2.3-1 初等函数与分段函数的导数162

2.3-2 隐函数的导数172

2.3-3 由参数方程所表示的函数的导数174

2.3-4 高阶导数176

2.4 微分法的一些基本应用184

2.4-1 作为函数变化率的导数——直接归结为导数的一些问题184

一 利用洛比塔法则求极限188

2.4-2 极限计算法(续一)188

二 综合运用各种方法求极限194

三 极限计算法(续一)小结199

2.4-3 曲线的切线作法及与切线有关的一些应用200

2.4-4 关于函数值的若干计算公式210

一 函数的近似公式与近似计算210

二 三角函数表的编造原理217

三 函数不等式218

四 函数恒等式224

2.4-5 最大、最小值应用问题227

2.4-6 函数变化状态的研究——函数作图242

一 曲线渐近线的概念与求法243

二 用微分法作显函数的图象251

三 微分作图法要点分析261

2.5 微分法小结——微积分方法特点探讨之一263

3.1 基本事项及其注释264

3.1-1 不定积分264

第三章积分法264

3.1-2 关于不定积分的注释267

一 关于原函数与不定积分定义的注释267

二 导出不定积分公式与法则的一个基本的思想方法268

三 导数法则与积分法则的比较——积分法则的特殊性以及由此而产生的新问题270

3.1-3 定积分272

3.1-4 关于定积分的注释275

一 关于定积分定义的注释275

二 关于微积分基本概念之间的联系278

3.2 积分计算法279

3.2-1 怎样求不定积分279

一 九类不定积分问题及其基本解法281

类型Ⅰ 形如 ∫f〔?(x)〕?(x)dx 的积分，其中 ?(x)为基本或较简单的初等函数——应用换元法则的简单例子281

类型Ⅱ 被积函数可以分项的积分——应用线性法则的简单例子286

类型Ⅲ 被积函数是两个因子的乘积且至少有一个因子是初等超越函数的积分——主要应用分部积分法的简单例子291

类型Ⅳ 有理函数的积分300

类型Ⅴ 无理函数的积分(之一)——形如 ∫R(x，?)dx 的积分309

类型Ⅵ 无理函数的积分(之二)——形如 ∫R(x，?)dx 的积分312

类型Ⅶ 无理函数的积分(之三)——形如 ∫x2(α+bxβ)?dx 的积分323

类型Ⅷ 三角函数有理式的积分，即形如 ∫R(sinx，cosx)dx 的积分326

类型Ⅸ 杂例333

二 一题多解法340

3.2-2 定积分计算法345

3.3 积分法的一些基本应用356

3.3-1 极限计算法(续二)——应用定积分求一类数列的极限356

3.3-2 微元法原理与应用举例361

3.3-3 面积379

3.3-4 体积391

3.3-5 两种积分均值在交流电路中的应用402

3.3-6 最简微分方程407

一 微分方程的基本概念407

二 几类最简微分方程的解法410

三 微分方程应用问题解法分析与举例418

3.4 积分法小结——微积分方法特点探讨之二434