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第一章 微积分的概念1

1.1 函数与极限1

1.1.1 数列极限与函数极限1

1.1.2 连续函数2

1.2 定积分7

1.2.1 计算面积7

1.2.2 定积分的定义11

1.2.3 对数函数y=lnx18

1.3.1 曲线的切线23

1.3 微商与微分23

1.3.2 速度、密度24

1.3.3 微商的定义26

1.3.4 微分30

1.4 微积分基本定理33

第二章 微积分的运算39

2.1 微分法39

2.1.1 微商与微分的计算39

2.1.2 高阶微商与高阶微分49

2.1.3 利用微分作近似计算53

2.2.1 不定积分的计算61

2.2 积分法61

2.2.2 定积分的计算81

2.2.3 定积分的近似计算88

第三章 微积分的一些应用95

3.1 面积、体积、弧长95

3.1.1 面积95

3.1.2 体积98

3.1.3 弧长100

3.2 曲线的描绘104

3.2.1 函数图形的上升和下降105

3.2.2 函数图形的凹与凸106

3.2.3 曲线的渐近线108

3.2.4 描绘图形的例子111

3.2.5 曲率114

3.3 Taylor（泰勒）展开与极值问题118

3.3.1 Taylor（泰勒）展开式118

3.3.2 极值问题123

3.4 物理应用举例134

第四章 常微分方程140

4.1 一阶微分方程140

4.1.1 概念140

4.1.2 分离变量143

4.1.3 线性方程151

4.2 二阶微分方程156

4.2.1 可降价的方程156

4.2.2 二阶线性方程160

4.2.3 常系数线性方程168

4.2.4 质点振动182

4.2.5 常微分方程组188

5.1 空间直角坐标系与矢量196

5.1.1 直角坐标系196

第五章 矢量代数与空间解析几何196

5.1.2 矢量的加法与数乘198

5.2 矢量的乘积203

5.2.1 矢量的内积203

5.2.2 矢量的外积205

5.2.3 矢量的混合积208

5.3 平面与直线211

5.3.1 平面方程211

5.3.2 直线方程215

5.4 二次曲面219

5.4.1 柱面219

5.4.2 旋转曲面221

5.4.3 锥面223

5.4.4 椭球面224

5.4.5 双曲抛物面225

5.4.6 单叶双曲面227

5.4.7 双叶双曲面227

5.4.8 椭圆抛物面227

5.5 坐标变换229

5.5.1 坐标系的平移229

5.5.2 坐标系的旋转230

6.1.1 多变量函数的极限与连续性235

6.1 重积分235

第六章 重积分与偏微商235

6.1.2 重积分的概念238

6.1.3 重积分的计算242

6.2 偏微商253

6.2.1 偏微商与全微分253

6.2.2 隐函数的微商262

6.3 Jacobi（雅可比）行列式、面积元素与体积元素278

6.3.1 Jacobi（雅可比）行列式的性质278

6.3.2 面积元素与体积元素280

7.1.1 数量场的等值面与梯度298

7.1 数量场与矢量场298

第七章 线、面积分与外微分形式298

7.1.2 矢量场的流线302

7.2 曲线积分307

7.2.1 第一种曲线积分（关于弧长的曲线积分）307

7.2.2 第一种曲线积分的应用（旋转曲面的面积）310

7.2.3 第二种曲线积分（关于弧长元素投影的积分）312

7.2.4 第二种曲线积分的计算方法315

7.2.5 两种曲线积分的关系318

7.2.6 矢量场的环流量，矢量的曲线积分319

7.3.1 第一种曲面积分（关于面积元素的曲面积分）324

7.3 曲面积分324

7.3.2 矢量场的通量，第二种曲面积分（关于面积元素投影的积分）327

7.3.3 第二种曲面积分的计算方法330

7.4　Stokes公式336

7.4.1　Green公式336

7.4.2　Gauss公式、散度339

7.4.3　Stokes公式、旋度345

7.5 全微分与线积分354

7.5.1 与途径无关的曲线积分354

7.5.2 有势场358

7.5.3 管型场360

7.6.1 外乘积、外微分形式364

7.6 外微分形式364

7.6.2 外微分运算，Poincaré引理及其逆371

7.6.3 梯度、旋度与散度的数学意义377

7.6.4 多变量微积分的基本定理（Stokes公式）379

第八章 多变量微积分的一些应用383

8.1 Taylor（泰勒）展开与极值问题383

8.1.1 多变量函数的Taylor展开383

8.1.2 多变量函数的极值问题384

8.1.3 条件极值问题389

8.2.1 重心、转动惯量与引力395

8.2 物理上的应用举例395

8.2.2 流体动力学的完全方程组401

8.2.3 声的传播404

8.2.4 热的传导406

第九章 ε-δ语言410

9.1 数列极限的ε-N语言410

9.1.1 数列极限的定义410

9.1.2 数列极限的一些性质412

9.1.3 极限存在的判别准则415

9.2.1 连续趋限424

9.2 函数连续性的ε-δ语言424

9.2.2 连续函数的定义431

9.2.3 连续函数的一些基本性质434

9.2.4 函数的一致连续性436

9.3 定积分的存在性443

9.3.1　Darboux和443

9.3.2 连续函数的可积性445

9.3.3 定积分概念的推广450

10.1 数项级数458

10.1.1 基本概念458

第十章 无穷级数与无穷积分458

10.1.2 一些收敛判别法460

10.1.3 条件收敛级数466

10.2 函数项级数475

10.2.1　无穷次相加产生的问题475

10.2.2　一致收敛函数列477

10.2.3　一致收敛函数项级数481

10.2.4 隐函数存在定理485

10.2.5 常微分方程解的存在性与唯一性490

10.3 幂级数与Taylor级数498

10.3.1 幂级数的收敛半径498

10.3.2 幂级数的性质501

10.3.3　Taylor级数506

10.3.4 幂级数的应用514

10.4 无穷积分与含参变量积分528

10.4.1 无穷积分的收敛判别法528

10.4.2 含参变量的积分540

10.4.3 含参变量的无穷积分545

10.4.4 几个重要的无穷积分559

11.1　Fourier级数573

11.1.1 三角函数系的正交性573

第十一章　Fourier级数与Fourier积分573

11.1.2　Bessel不等式583

11.1.3　Fourier级数的收敛判别法585

11.2　Fourier积分592

11.2.1　Fourier积分592

11.2.2　Fourier变换594

11.2.3　Fourier变换的应用599

11.2.4 高维Fourier变换601

习题答案603

后记650

附：本书讲授学时分配数652