《微积分学教程 上》

1.1 实数集合1

1.集合论的某些基本概念1

第一章函数与极限1

2.有理数域4

3.实数域5

4.不等式7

5.绝对值9

6.区间和邻域10

习题1-112

1.一元函数的定义及其表示方法14

1.2 一元函数的概念14

2.反函数18

3.复合函数19

4.初等函数20

5.几类具有某种特性的函数21

习题1-225

1.3 数列的极限27

1.数列的概念27

2.收敛数列30

3.用定义证明极限式的例子31

习题7-433

4.收敛数列的性质34

5.子数列37

6.发散数列37

习题1-338

1.4 函数的极限40

1.引言40

2.函数极限的定义42

3.用定义证明极限式的例子43

4.存在有限极限的函数之局部性质45

5.左、右极限与全面极限的关系47

6.函数极限的数列语言定义48

习题1-451

1.5 无穷小量与无穷大量53

1.无穷小量53

2.存在有限极限的变量与无穷小量的关系54

3.无穷大量55

4.无穷小量与无穷大量之间的关系55

习题1-556

1.6 极限的运算法则56

1.有限极限的运算法则57

2.复合函数的极限62

3.出现待定式的情形64

习题1-667

1.粗糙的比较70

1.7 无穷小量阶的比较70

2.精细的比较71

3.等价无穷小量72

习题1-774

1.8 判别极限存在的准则74

1.上确界与下确界75

2.单调变量的极限79

3.重要极限limx→+∞(1+1/x)x=e82

4.两个基本引理85

5.柯西准则88

习题1-892

2.1 定义和局部性质94

第二章函数的连续性94

1.函数在点 x0的连续性95

2.函数在点 x0的左(右)连续性96

3.函数在区间上的连续性96

4.连续函数的局部性质97

5.间断点分类98

6.分段连续函数100

习题2-1100

1.连续函数的四则运算法则102

2.2 连续函数的运算法则102

2.单调函数的连续性103

3.复合函数的连续性104

4.几个重要的极限105

习题2-2109

2.3 闭区间上连续函数的性质110

1.引言110

2.有界性定理111

3.最大与最小值定理111

4.介值定理112

5.单调函数的反函数之连续性115

习题2-3116

6.初等函数的连续性116

1.引言117

2.4 一致连续性117

2.定义和例子119

3.康托定理121

习题2-4123

第三章导数与微分124

3.1 导数124

1.引出导数的两个经典问题124

2.导数的定义及其几何意义与物理意义125

3.左导数与右导数127

5.导函数128

4.连续与可导的关系128

6.基本求导法则与基本初等函数的导数公式129

7.隐函数的导数137

8.参数方程所确定的函数之导数138

习题3-1142

3.2 高阶导数146

1.定义146

2.几类基本初等函数的 n 阶导数公式147

3.三个一般法则149

习题3-2152

1.微分的概念153

3.3 微分153

2.可微性与导数存在性之间的关系154

3.一阶微分形式的不变性156

4.微分在近似计算中的应用158

5.高阶微分160

习题3-3161

第四章微分中值定理和导数的应用163

4.1 微分中值定理163

1.几何直观的启示和定理的陈述163

2.定理的证明165

3.附注和例题167

习题4-1169

4.2 罗必达法则170

1.0/0型待定式171

2.∞/∞型待定式172

3.例175

习题4-2178

1.多项式的泰勒公式180

4.3 泰勒公式180

2.任意函数的泰勒公式181

3.几个基本初等数函的麦克劳林展式184

4.应用举例185

习题4-3188

4.4 导数在研究函数中的应用189

1.函数的单调性189

2.函数的极值190

3.曲线的凹凸性和拐点193

4.渐近线195

5.函数的作图197

习题4-4201

4.5 平面曲线的曲率203

1.矩形公式204

2.计算公式204

1.定义和例子204

3.曲率圆206

习题4-5209

4.6 方程的近似根210

习题4-6214

复习题一214

第五章不定积分219

5.1 不定积分的概念与基本积分公式219

1.原函数219

2.不定积分220

3.基本积分公式222

习题5-1224

5.2 换元积分法225

1.换元积分公式225

2.换元积分公式的应用(Ⅰ)225

3.换元积分公式的应用(Ⅱ)228

习题5-2234

5.3 分部积分法236

2.∫xalnmxdx,∫xaarcsinxdx 型的积分237

1.∫xkeaxdx,∫xksinbxdx 型的积分237

3.I1＝-∫eaxsinbxdx,I2＝∫eaxcosbxdx 求的法238

4.求递推公式239

5.其他例子240

习题5-3243

5.4 有理函数的积分244

1.引言244

2.一些代数知识245

3.积分248

4.实际作法250

习题5-4253

5.5 三角函数有理式的积分253

习题5-5257

5.6 简单无理函数的积分258

1.∫R(x,?ax+b/cx+d)dx 型积分258

2.∫R(x,?ax2+bx+c)dx 型积分259

3.关于其他类型无理函数的积分262

习题5-6263

第六章定积分264

6.1 定积分的定义和简单性质264

1.引出定积分的两个经典问题264

2.定积分的定义266

3.定积分的简单性质268

习题6-1270

6.2 函数的可积性271

1.“下和”与“上和”271

2.可积性准则274

3.可积函数类型276

习题6-2278

6.3 定积分的进一步性质278

习题6-3283

1.变上限的定积分284

6.4 微积分学的基本定理284

2.牛顿-莱布尼兹公式287

习题6-4291

6.5 定积分的换元积分法和分部积分法293

1.换元积分公式294

2.分部积分公式296

习题6-5301

6.6 定积分的近似计算304

2.梯形公式305

3.抛物线公式306

习题6-6309

1.直角坐标系中面积的计算311

7.1 平面图形的面积311

第七章定积分的应用311

2.极坐标系中面积的计算314

习题7-1316

7.2 体积317

1.已知横截面面积的立体之体积317

2.旋转体体积319

习题7-2320

7.3 平面曲线的弧长321

1.曲线用参数表示时的弧长公式322

2.直角坐标系中曲线的弧长公式325

3.极坐标系中曲线的弧长公式327

4.弧微分的表达式328

习题7-3330

7.4 旋转面的面积330

7.5 质量中心333

1.平面曲线的质心334

2.平面图形的形心336

习题7-5339

7.6 功 水压力 平均值340

1.变力作功340

2.水压力342

3.函数的平均值344

4.均方根346

习题7-6347

第八章无穷级数349

8.1 数项级数的基本概念349

1.敛散性定义349

2.收敛的充要条件354

3.基本性质355

习题8-1358

8.2 正项级数的收敛性360

习题8-2369

8.3 任意项级数371

1.交错级数收敛性371

2.绝对收敛与条件收敛372

3.级数的运算376

习题8-3380

8.4 函数项级数 一致收敛性381

1.函数项级数的概念381

2.一致收敛性384

3.一致收敛性的判别法386

习题8-4391

8.5 一致收敛级数的性质392

习题8-5396

8.6 幂级数397

1.幂级数的概念397

2.幂级数的四则运算401

3.幂级数的一致收敛性及分析运算403

习题8-6409

8.7 幂级数的应用410

1.泰勒级数410

2.几个基本初等函数的麦克劳林展式412

3.函数的间接展开法416

4.在近似计算等方面的应用举例418

习题8-7422

8.8 傅里叶级数423

1.引言423

2.函数 f(x)的傅里叶级数426

3.傅氏级数的收敛性431

4.有限区间上的函数之傅氏展式438

习题8-8443

复习题二444

习题答案与提示449