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第一章函数1

1.1函数概念1

1.1.1 函数1

1.1.2 函数定义的剖析4

1.2函数的几种特性8

1.2.1 函数的奇偶性9

1.2.2 函数的单调性11

1.2.3 函数的周期性14

1.2.4 函数的有界性20

1.3反函数22

1.3.1 反函数的定义和两种表示形式22

1.3.2 反函数的图象26

1.3.3 反函数的存在性29

1.4 复合函数32

1.5初等函数36

1.5.1 基本初等函数36

1.5.2 初等函数43

1.6 杂例讨论44

习题47

第二章数列的极限49

2.1数列极限的概念49

2.1.1 预备知识49

2.1.2 数列极限的初步描述52

2.1.3 数列极限概念的精确化54

2.1.4 运用定义验证数列极限60

2.1.5 收敛数列与发散数列70

2.2数列极限的性质和运算法则71

2.2.1 预备知识71

2.2.2 收敛数列的性质76

2.2.3 数列极限的运算法则85

2.2.4 利用运算法则求极限92

2.3数列极限存在的一个判别法96

2.3.1 预备知识——单调数列96

2.3.2数列极限存在的一个判别法97

2.3.3 重要极限？（1+？）n100

2.4 杂例讨论103

习题106

第三章函数的极限108

3.1自变量趋于无限时的函数极限108

3.1.1 x→+∞时的函数极限108

3.1.2 x→-∞时的函数极限115

3.1.3 x→∞时的函数极限119

3.2自变量趋于有限数时的函数极限121

3.2.1 x→a时的函数极限122

3.2.2 函数的单边极限131

3.3函数极限的性质和运算法则133

3.3.1 函数极限的性质134

3.3.2 函数极限的运算法则136

3.3.3 求x→∞时的函数极限136

3.3.4 求x→a时的函数极限139

3.3.5重要极限？？=1142

3.3.6 重要极限？（1+？）x=e146

3.4 杂例讨论149

习题152

第四章无穷小量与无穷大量153

4.1无穷小量153

4.1.1 无穷小量的概念153

4.1.2 无穷小量的运算155

4.2无穷大量157

4.2.1 无穷大量的概念157

4.2.2 无穷大量与无穷小量的关系162

4.3无穷小（大）量的比较164

4.3.1 无穷小量的比较164

4.3.2 无穷小量的阶166

4.3.3 无穷大量的比较170

4.4 杂例讨论171

习题173

第五章连续函数175

5.1函数的连续性175

5.1.1 函数在一点处连续的概念175

5.1.2 左、右连续182

5.1.3 区间连续183

5.2间断184

5.2.1 间断的概念185

5.2.2 间断点的各种情形186

5.3初等函数的连续性190

5.3.1 连续函数的四则运算190

5.2.2 反函数和复合函数的连续性192

5.3.3 初等函数的连续性196

5.3.4 连续理论在求极限方面的应用198

5.3.5 求极限小结205

5.4闭区间上连续函数的性质207

5.4.1 有界性定理207

5.4.2 最大最小值定理208

5.4.3 零值定理209

5.4.4 介值定理211

5.4.5 反函数连续性定理的证明213

5.5 杂例讨论215

习题217

第六章导数与微分219

6.1导数的概念219

6.1.1 实例——导数概念的引出219

6.1.2 导数定义225

6.2 简单函数的导数232

6.3可导问题236

6.3.1 可导与连续关系236

6.3.2 左、右导数237

6.4函数的和、差、积、商的求导法则242

6.4.1 预备知识——关于函数增量的复习242

6.4.2 函数和、差的求导法则244

6.4.3 函数积的求导法则244

6.4.4 函数商的求导法则247

6.5 反函数的导数249

6.6复合函数求导法则254

6.6.1 预备知识——导数记号yx’及？254

6.6.2 复合函数求导法则255

6.6.3 初等函数求导法小结263

6.7求导法补充265

6.7.1 隐函数求导法265

6.7.2 对数求导法267

6.7.3 由参数方程所确定的函数的导数270

6.8微分272

6.8.1 微分的定义与求法273

6.8.2 微分与函数增量的关系275

6.8.3 微分的几何意义278

6.8.4 微分的运算法则，微分形式不变性279

6.8.5 微分在近似计算中的应用282

6.9高阶导数与高阶微分285

6.9.1 高阶导数285

6.9.2 高阶微分295

6.10 杂例讨论299

习题302

第七章微分学基本定理305

7.1微分学中值定理305

7.1.1 罗尔定理305

7.1.2 拉格朗日定理310

7.1.3 柯西定理318

7.2洛必达法则321

7.2.1 ？型321

7.2.2 ？型326

7.2.3 0·∞，∞-∞型328

7.2.4 00，1∞，∞0型331

7.2.5 运用洛必达法则的几点注意333

7.3泰勒公式335

7.3.1 关于x=0的泰勒公式335

7.3.2 几个简单函数的马克劳林展开式340

7.3.3 关于x=x0的泰勒公式345

7.3.4 泰勒公式的二个应用347

7.4 杂例讨论350

习题352

第八章导数应用355

8.1函数单调性的判定355

8.1.1 复习单调性的定义355

8.1.2 函数增减的充分判别法356

8.1.3 函数增减的充要条件358

8.1.4 研究函数的单调性360

8.1.5 利用单调性证明不等式362

8.2函数的极值与最大（小）值363

8.2.1 极值的定义和必要条件363

8.2.2 极值的判别法365

8.2.3 函数的最大（小）值368

8.3函数的凸性的与拐点374

8.3.1 函数凸性的定义374

8.3.2 函数凸性的判别法376

8.3.3 曲线的拐点378

8.4曲线的渐近线381

8.4.1 渐近线的定义381

8.4.2 渐近线的分类及求法382

8.5 函数作图386

8.6平面曲线的曲率390

8.6.1 曲率的定义391

8.6.2 曲率的计算394

8.6.3 曲率半径398

8.7 杂例讨论399

习题402

第九章不定积分405

9.1不定积分的概念及运算法则405

9.1.1 不定积分的定义405

9.1.2 不定积分的基本公式411

9.1.3 不定积分的运算法则414

9.2换元积分法和分部积分法418

9.2.1 换元积分法418

9.2.2 分部积分法432

9.3有理函数的积分440

9.3.1 有理函数440

9.3.2 简单有理真分式的积分444

9.3.3 有理函数的积分447

9.4三角函数有理式的积分449

9.4.1 万能代换449

9.4.2 特殊情形451

9.4.3 引用三角恒等式求积分453

9.5简单无理函数的积分455

9.5.1 形如∫R（x，？）dx的积分455

9.5.2 形如∫R（x,?）dx的积分458

9.6积分法小结466

9.6.1 求积分的若干方法与基本类型467

9.6.2 积分法的选择468

9.6.3 不能用初等函数表示的不定积分468

9.7 杂例讨论469

习题472

第十章定积分474

10.1定积分的概念474

10.1.1 预备知识——求和记号“∑”474

10.1.2 实例——定积分概念的引入476

10.1.3 定积分的定义482

10.1.4 定积分定义的剖析484

10.1.5 定积分的存在问题485

10.1.6 定积分的几何意义及两个规定489

10.2定积分的性质490

10.2.1 定积分的基本性质490

10.2.2 定积分中值定理496

10.3定积分与不定积分的联系497

10.3.1 积分上限函数497

10.3.2 微积分学基本定理498

10.3.3 牛顿——莱布尼兹公式502

10.4定积分的换元法及分部积分法504

10.4.1 定积分的换元法505

10.4.2 定积分的分部积分法513

10.5定积分的近似计算516

10.5.1 矩形法517

10.5.2 梯形法519

10.5.3 抛物线法——辛卜生法520

10.6 杂例讨论524

习题528

第十一章定积分的应用530

11.1平面图形的面积530

11.1.1 曲线由直角坐标方程给出的情形530

11.1.2 曲线由参数方程给出的情形538

11.1.3 曲线由极坐标方程给出的情形541

11.2平面曲线的弧长548

11.2.1 曲线弧长的定义548

11.2.2 曲线的弧长公式548

11.3体积555

11.3.1 已知平行截面的立体的体积555

11.3.2 旋转体的体积561

11.4定积分在物理中的两个应用564

11.4.1 功565

11.4.2 液体的压力569

11.5 函数的平均值572

11.6 杂例讨论575

习题578

第一～十一章习题答案579