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第一章 最小二乘平差的代数和几何方法1

1-1 向量空间1

一、定义1

二、向量空间的例1

前言页1

三、线性相关与线性无关2

四、基底3

五、线性方程组5

1-2 线性算子7

一、定义7

三、线性算子的矩阵表示8

二、线性算子的例8

四、映射的合成，矩阵积9

五、逆算子，逆矩阵10

六、线性泛函11

七、看做泛函的坐标12

八、对偶算子13

1-3 矩阵运算14

一、引言14

二、矩阵与向量之积的说明14

三、矩阵代数16

二、许瓦尔兹不等式18

三、范数、距离18

一、定义18

1-4 内积18

四、完备性，希尔伯特空间20

五、用正定矩阵表示内积20

六、正交性21

七、格拉姆-施密特正交化22

八、线性泛函的向量表示22

九、泛函的内积，再生核23

十、伴随算子24

1-5 投影算子25

一、向量空间分解为子空间的直接和25

二、正交补子空间25

三、毕达哥拉斯定理26

四、正交投影算子的矩阵表示27

五、泛函的投影28

1-6 最小二乘平差30

一、观测向量的投影30

二、最小二乘平差的非齐次形式31

三、最小二乘平差的基本直角三角形32

四、利用泛函投影的最小二乘平差32

1-7 分块矩阵33

一、定义33

二、运算规则34

三、对角块矩阵35

四、分块矩阵的高斯消元法35

五、分块矩阵的理论基础36

一、定义37

二、内积的不变量度37

1-8 在内积空间之间的等距映射37

三、矩阵表示38

四、等距映射的例38

五、一个平差问题的典型变换39

1-9 分块约化40

一、参数集的分块40

二、法方程组的分块约化40

三、参数空间的正交分解41

四、观测方程组的分块约化42

五、观测方程组分块约化的另一种推导方法43

一、平差问题的公式化45

二、法方程组的加法45

1-10 观测值的分阶段平差45

三、对前一阶段的解的修正46

四、几何意义48

五、组内部未知数的预先消元法48

六、赫尔默特分区法50

1-11 最小二乘平差中的附加极值原理51

一、基本几何原理51

二、线性流形的公式表示51

三、按残差范数最小的平差54

四、按方差最小的平差55

1-21 广义逆58

一、一个线性算子的值域空间和零空间58

二、q-逆59

四、具有最小二乘性质的广义逆61

三、反射广义逆61

五、具有最小范数性质的广义逆63

六、最小范数最小二乘逆64

七、伪逆65

1-13 秩亏方程组的平差65

一、问题的公式表示65

二、经由A的广义逆的解66

三、平差参数协方差矩阵的最小范数性质66

四、经由奇异法方程组的解67

五、lm-逆的计算67

六、应用于自由网平差69

二、概率空间73

一、相对频率73

2-1 概率73

第二章 最小二乘平差统计方法73

三、例子74

四、概率计算75

2-2 随机变量75

一、一维随机变量75

二、概率密度函数76

三、n维随机变量76

四、随机变量的函数77

五、边缘分布78

六、随机独立79

三、观测误差的类型80

二、一维随机变量的方差80

一、一维随机变量的数学期望80

2-3 数学期望，方差和协方差80

四、数学期望和方差的简单计算规则81

五、多维随机变量情况81

六、协方差矩阵82

七、数学期望与协方差的传播83

八、重要的特殊情况84

九、零相关与随机独立84

2-4 最小二乘平差的高斯-马尔柯夫模型85

一、随机模型85

二、无偏估计88

三、最优线性无偏估计89

四、误差计算91

一、已测三条边的三角形92

2-5 误差传播定律的应用92

二、平面上的第一个基本问题94

三、误差椭圆94

四、有多余观测的极坐标测量法96

五、由极坐标测量法计算面积98

六、等边直伸导线的常规平差99

七、等边直伸导线的严密平差102

八、等边直伸导线中的系统误差103

第三章 置信区间与线性假设检验105

3-1 用于统计检验的概率分布105

一、一维高斯分布(正态分布)105

二、多维高斯分布(正态分布)107

四、学生分布(t分布)109

三、x2分布109

五、费歇分布(F分布)110

3-2 典型变换110

一、前言110

二、使泛函成为参数的一部份111

三、空间LA的正交分解111

四、L正交分解为LA和LB112

五、子空间基的标准正交化113

3-3 由最小二乘平差而得的各种量的分布115

一、BLUE及其残差的联合分布115

二、“残差带权和”的分布115

三、具有X2分布或F分布的Φ？和V的表达式116

四、具有t分布的？和V的表达式117

3-4 置信区域118

一、一维正态变量的置信区间118

二、已知单位权误差的高斯-马尔柯夫模型的应用118

三、学生分布的应用120

四、σ2的置信区域121

五、一组线性估值的椭球置信区域121

3-5 线性假设检验123

一、线性假设123

二、方差检验123

三、一个简单的例子124

四、一个复杂的例子126

二、光的传播时间差130

一、子午卫星系统130

第四章 大地测量个别问题130

4-1 多普勒观测的平差130

三、频移131

四、周期计数技术132

五、接收机缺陷的参数表示132

六、转换到地固坐标系133

七、轨道改正的参数134

八、观测方程式的线性化134

九、单站平差136

十、多站平差136

4-2 大地数据库137

一、存储方式137

二、对大地数据库的要求138

三、美国国家大地测量局(NGS)的数据库139

4-3 用于大地网法方程式的Cholesky算法141

一、用于一般对称正定组的Cholesky算法141

二、用Cholesky算法作部分约化141

三、大地测量法方程式143

四、部分Cholesky约化组的大地测量解释144

五、测站的编号问题147

4-4 一维三次样条内插155

一、引言155

二、三次多项式的参数表示法157

三、内分点上的条件157

四、边界条件158

五、三对角的线性方程组159

六、在周期性情况下的不同160

七、平面曲线的内插161

八、样条看作向量空间162

九、样条的定域性165

4-5 二维样条内插166

一、引言166

二、二元三次多项式166

三、埃尔米特(Hermite)二元三次内插168

四、二元三次样条169

4-6 精密样条内插的几何表示172

一、公式表示172

二、样条的定义173

三、样条的存在性和唯一性175

四、样条的极小性质176

五、其它例子176

六、预测是样条内插的特殊情形177

七、带有趋势参数的无噪声配置178

4-7 样条逼近181

一、引言181

二、一维情况的逼近181

三、具有局部支撑的基样条182

四、二维的情况183

参考文献184

后记186