《欧几里得和巴拿赫空间内方程的解法》

第一章1

（A）均差1

关于互异自变量的均差1

对称性2

Hermite积分表示法3

平均值公式4

（B）汇合均差、插值法7

汇合均差7

汇合均差的连续性8

均差的各种公式9

Newton插值公式10

一般插值问题12

多项式插值13

一般插值函数的余项13

计算均差的三角形格式13

第二章反插值、反函数的导数、一个插值点15

反插值的概念15

关于导数值f′（x）的Darboux定理16

反函数的导数16

一个插值点18

f（x）的根的展开式20

试位法的定义22

第三章试位法22

反插值的使用23

几何解释（Fourier条件）24

具有逐次相邻点的迭代25

Horner单位及效率指数26

舍入法则27

用试位法确定零点的位置28

用试位法计算的例子29

第四章迭代法31

迭代法的收敛性判别准则31

吸力点与斥力点31

收敛性的改进33

第五章迭代法（续）、重根39

利用单调迭代函数的迭代法39

重根40

迭代法理论与试位法的联系43

第六章Newton—Raphson法44

方法概述44

反插值的使用44

试位法与Newton—Raphson法的比较45

第七章Newton—Raphson法的基本存在定理47

先验误差估计与后验误差估计47

基本存在定理47

有重根时Schr？der迭代的收敛性52

第八章有重根时一种类似于Newton—Raphson法的方法52

先验误差估计54

递推误差估计56

精确重数的计算法57

第九章 Newton—Raphson法的Fourier界59

第十章 Newton—Raphson法的Dandelin界62

第十一章三个插值点67

用线性分式插值67

两个重合的插值点67

误差估计68

迭代过程中的应用70

齐次差分方程的通解72

第十二章线性差分方程72

非齐次与齐次差分方程72

关于幂级数除法的引理73

常系数线性差分方程解的渐近性质74

试位法迭代中误差的渐近性质76

关于一类代数方程的根的定理78

第十三章n个不同的插值点误差估计80

具有n个不同插值点的迭代法81

某些特殊方程的根的讨论82

第十四章n＋1个重合的插值点及根的Taylor展式问题的陈述87

关于反函数与保角映射的一个定理87

关于根的Taylor近似值的误差定理89

定理14.2的条件的讨论90

第十五章平方根迭代法93

仅具有单实零点的多项式93

对重零点的修改95

可微函数及复零点97

第十六章平方根迭代法（续）100

局部收敛性和存在性定理100

扩张到整函数104

第十七章插值多项式零点的一般定理107

插值多项式零点的收敛性111

第十八章用给定次数的代数方程来逼近方程，单根时的渐近误差111

单根时的渐近误差112

第十九章向量和矩阵的范数114

向量范数114

矩阵范数｜A｜1与｜A｜∞115

A的特征值117

第二十章 关于矩阵乘积收敛性的两个定理121

第二十一章 关于矩阵乘积发散性的一个定理123

第二十二章多变元迭代时吸力点与斥力点的特征127

吸力点与斥力点127

一个例子129

Euclid长度与Frobenius范数131

Hermite矩阵131

第二十三章Euclid数范131

矩阵的Euclid范数132

第二十四章Minkowski范数，△p（A），△p，p′（A）135

Minkowski范数135

｜A｜p与｜A｜p，p′135

△p，p′（A）与△p（A）136

关于△p，p′（A）的不等式138

逆矩阵的变差139

第二十五章最速下降法（一）．过程的收敛性141

方法概述141

过程的收敛性143

应用于｜f（X＋iY）｜2144

第二十六章最速下降法（二）．ξμ的弱线性收敛性146

ξμ的导集146

弱线性收敛性146

关于函数（25.3）的正则极小值的条件148

一元代数方程149

第二十七章最速下降法（三）．ξμ的线性收敛性150

严格线性收敛性的条件150

一个例子152

和Newton—Raphson方法的联系154

第二十八章多项式方程的收敛过程156

方法的第一步156

迭代过程的收敛性158

转换到Newton—Raphson方法159

Ω—检验160

第二十九章J-检验与J-程序163

基本定理163

J-检验165

Jm-程序166

第三十章q-加速方法的实践168

q-加速的定义168

基本引理168

收敛性讨论170

收敛速度171

框图172

第三十一章赋范线性空间174

线性空间174

范数175

收敛性175

完备性与列紧性176

几个例子177

空间Cκ（J）177

空间Lα（G）178

第三十二章距离空间179

距离空间的定义179

压缩算子原理180

有界算子183

第三十三章赋范线性空间内的算子183

映射与算子183

线性算子184

强收敛与弱收敛185

第三十四章逆算子187

逆算子的定义187

逆算子的存在性187

另一个存在性定理188

Banach定理189

第三十五章映射直线区间的算子191

Borel复盖定理的加细191

H（t）的Lipschitz条件192

Taylor展式194

第三十六章算子的方向导数与梯度197

方向导数197

Gateau梯度198

F微分与F梯度199

第三十七章中心存在定理201

中心存在定理的建立201

一个局部存在定理201

定理37.1的证明204

第三十八章Banach空间内的Newton—Raphson迭代法．定理的叙述206

αp的定义206

定理38.1—38.3的建立207

一个引理209

第三十九章定理38.1—38.3的证明211

另一个引理211

对二次多项式的应用212

定理38.1—38.3的证明213

第四十章Newton—Raphson方法的补充217

对二次多项式估值的等式217

重根情形217

唯一性定理218

中心存在定理的建立221

范数的选取221

第四十一章有限方程组的中心存在定理221

唯一性定理222

例223

第四十二章有限方程组的Newton—Raphson迭代法225

定理的建立225

范数的选取226

对一个复变元的复函数的应用229

附录230

赋范空间的等式条件318

严格赋范空间的等式条件319

文献注释324

索引334