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第一篇 复变函数论1

第一章 复数与复变函数2

第一节 复数2

1.1.1 复数域2

1.1.2 复平面3

1.1.3 复数的模与幅角4

1.1.4 复数的乘幂与方根6

第二节 复变函数的基本概念8

1.2.1 区域与约当曲线8

1.2.2 复变函数的概念11

1.2.3 复变函数的极限与连续性13

第三节 复球面与无穷远点15

1.3.1 复球面15

1.3.2 闭平面上的几个概念16

习题16

2.1.1 导数的定义19

第一节 解析函数的概念及哥西--黎曼条件19

第二章 解析函数19

2.1.2 哥西-黎曼条件20

2.1.3 解析函数的定义24

第二节 解析函数与调和函数的关系24

2.2.1 共轭调和函数的求法24

2.2.2 共轭调和函数的几何意义26

第三节 初等解析函数28

2.3.1 初等单值函数28

2.3.2 初等多值函数31

习题36

第三章 哥西定理 哥西积分39

第一节 复变积分的概念及其简单性质39

3.1.1 复变积分的定义及其计算方法39

3.1.2 复变积分的简单性质42

第二节 哥西积分定理及其推广43

3.2.1 哥西积分定理43

3.2.2 不定积分44

3.2.3 哥西积分定理推广到复围线的情形46

第三节 哥西积分公式及其推广49

3.3.1 哥西积分公式49

3.3.2 解析函数的无限次可微性51

3.3.3 模的最大值原理 哥西不等式 刘维尔定理 摩勒纳定理53

第四节 解析函数在平面场中的应用55

3.4.1 什么叫平面场55

3.4.2 复位势55

3.4.3 举例57

习题61

第四章 解析函数的幂级数表示64

第一节 函数项级数的基本性质64

4.1.1 数项级数64

4.1.2 一致收敛的函数项级数66

第二节 幂级数与解析函数70

4.2.1 幂级数的敛散性70

4.2.2 解析函数的幂级数表示74

第三节 罗朗级数79

4.3.1 双边幂级数的收敛圆环79

4.2.2 解析函数的罗朗展开80

4.2.3 罗朗展式举例83

第四节 单值函数的孤立奇点87

4.4.1 孤立奇点的三种类型87

4.4.2 可去奇点88

4.4.3 极点89

4.4.4 本性奇点91

4.4.5 解析函数在无穷远点的性质91

习题94

第五章 残数及其应用97

第一节 残数97

5.1.1 残数的定义及残数定理98

5.1.2 残数的求法99

5.1.3 无穷远点的残数102

第二节 利用残数计算实积分104

5.2.1 ？R(cosθ,sinθ)dθ的计算105

5.2.2 ？f(x)dx的计算107

5.2.3 实轴上有奇点的情形112

5.2.4 其他例子113

习题118

第六章 保角为换121

第一节 解析变换的特性121

6.1.1 单叶变换121

6.1.2 解析函数的保角性122

6.1.3 拉普拉斯算符的为换124

第二节 线性变换126

6.2.1 几种最简单的保角变换126

6.2.2 线性变换127

6.2.3 线性变换的保圆周性129

6.2.4 线性变换的保对称点性129

6.2.5 线性变换的应用131

第三节 某些初等函数所构成的变换133

6.3.1 幂函数与根式函数133

6.3.2 指数函数与对数函数135

习题139

第二篇 数学物理方程141

第七章 一维波动方程的付氏解142

第一节 一维波动方程--弦振动方程的建立142

7.1.1 弦振动方程的建立142

7.1.2 定解条件的提出144

第二节 齐次方程混合问题的付里叶解法(分离变量法，驻波法)146

7.2.1 利用分离变量法求解齐次弦振动方程的混合问题146

7.2.2 付氏解的物理意义152

第三节 电报方程154

第四节 强迫振动 非齐次方程的求解156

习题159

第一节 热传导方程和扩散方程的建立163

8.1.1 热传导方程的建立163

第八章 热传导方程的付氏解163

8.1.2 扩散方程的建立165

8.1.3 定解条件167

第二节 混合问题的付氏解法168

第三节 初值问题的付氏解法170

8.3.1 付氏积分170

8.3.2 利用付氏积分解热传导方程的初值问题172

8.3.3 付氏解的物理意义175

8.4.1 定解问题的解178

第四节 一端有界的热传导问题178

8.4.2 举例180

8.4.3 杜赫美原则184

习题187

第九章 拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解190

第一节 圆的狄利克雷问题190

9.1.1 定解问题的提法190

9.1.2 付氏解191

9.2.1 δ函数的引入195

第二节 δ函数195

9.2.2 δ函数的性质196

9.2.3 把δ函数看作是弱收敛函数序列的弱极限197

9.2.4 高维空间中的δ函数及δ函数的其他性质200

习题201

第十章 波动方程的达朗贝尔解法204

第一节 弦振动方程初值问题的达朗贝尔解法204

10.1.1 达朗贝尔解的推出204

10.1.2 达朗贝尔解的物理意义206

10.1.3 举例207

10.1.4 依赖区间 决定区域和影响区域209

第二节 高维波动方程211

10.2.1 三维波动方程的初值问题211

10.2.2 降维法213

10.2.3 解的物理意义214

10.2.4 地震波216

10.3.1 非齐次波动方程的哥西问题217

第三节 非齐次波动方程 推迟势217

10.3.2 非线性方程219

习题220

第十一章 数学物理议程的解的积分公式224

第一节 格林公式 调和函数的基本性质224

11.1.1 球对称解224

11.1.2 格林公式225

第二节 拉普拉斯方程的球的狄利克雷问题232

11.2.1 边值问题的提法232

11.2.2 球的狄利克雷问题233

11.1.3 调和函数的基本性质236

11.2.3 狄利克雷外问题237

第三节 格林函数238

11.3.1 格林函数的定义238

11.3.2 举例241

11.3.3 格林函数的对称性243

11.3.4 保角变换法245

第四节 泊松方程246

11.4.1 泊松方程的导出246

11.4.2 泊松方程的狄利克雷问题247

习题249

第十二章 定解问题的适定性251

第一节 弦振动方程的初值问题的适定性252

第二节 弦振动方程混合问题的适定性253

12.2.1 解的存在性253

12.2.2 能量积分和解的唯一性256

第三节 狄利克雷问题的适定性259

12.3.1 解的唯一性259

12.3.2 解的稳定性259

第四节 热传导方程混合问题的适定性260

12.4.1 极值原理260

12.4.2 解的唯一性262

第五节 热传导方程初值问题的适定性263

12.5.1 解的唯一性和稳定性263

12.4.3 解的稳定性263

12.5.2 解的存在性265

第六节 拉普拉斯方程狄利克雷问题的解的唯一性267

12.6.1 三维空间狄利克雷外问题解的唯一性267

12.6.2 二维空间狄利克雷外问题解的唯一性268

第七节 定解问题不适定之例269

12.7.1 不适定问题举例269

12.7.2 对不适定问题的研究271

12.8.1 关于定解问题的提法273

第八节 三类方程的比较273

12.8.2 关于解的性质274

12.8.3 关于时间的反演275

习题277

第十三章 付里叶变换279

第一节 付氏变换的定义及其基本性质279

13.1.1 付氏变换的定义279

13.1.2 付氏变换的基本性质280

13.1.3 n维付氏变换282

13.1.4 δ函数的付氏变换283

第二节 用付氏变换解数理方程举例284

第三节 基本解286

13.3.1 基本解的物理意义286

13.3.2 基本解的定义288

13.3.3 非定常非齐次方程的基本解295

习题297

14.1.1 付氏变换与拉氏变换298

第一节 拉普拉斯变换的定义和它的逆变换298

第十四章 拉普拉斯变换298

14.1.2 拉氏变换的定义299

14.1.3 拉氏变换的存在定理和反演定理300

第十七章 埃尔米特多项式和拉盖尔多项式300

第二节 拉普拉斯变换的基本性质及其应用举例303

第三节 展开定理315

14.3.1 展开定理315

14.3.2 用反演公式解数理方程举例317

习题321

第三篇 特殊函数324

15.1.1 勒让德微方程的导出325

第十五章 勒让德多项式 球函数325

第一节 勒让德微分方程及勒让德多项式325

15.1.2 幂级数解和勒让德多项式的定义327

15.1.3 勒让德多项式的微分表达式--洛德利格公式333

15.1.4 勒让德多项式的施列夫利积分表达式333

第二节 勒让德多项式的母函数及其递推公式334

15.2.1 勒让德多项式的母函数334

15.2.2 勒让德多项式的递推公式336

第三节 按勒让德多项式展开338

15.3.1 勒让德多项式的正交性338

15.3.2 勒让德多项式的归一性338

15.3.3 展开定理的叙述340

第四节 连带勒让德多项式341

15.4.1 连带勒让德多项式的定义341

15.4.2 连带勒让德多项式的正交性和归一性342

第五节 拉普拉斯方程在球形区域上的狄利克雷问题343

15.5.1 利用连带勒让德多项式P？(x)得出方程(15.1)？的解343

15.5.2 确定出定解问题(15.1)？和(15.2)？的解344

公式表345

习题347

第十六章 贝塞耳函数 柱函数349

第一节 贝塞耳微分方程及贝塞耳函数349

16.1.1 贝寒耳微分方程的导出349

16.1.2 幂级数解和贝塞耳函数的定义350

第二节 贝寒耳函数的母函数及其递推公式354

16.2.1 贝塞耳函数的母函数354

16.2.2 贝寒耳函数的积分表达式355

16.2.3 贝寒耳函数的递推公式356

16.2.4 半奇数阶贝塞耳函数357

第三节 按贝塞耳函数展开359

16.3.1 贝塞耳函数的零点360

16.3.2 贝塞耳函数的正交性361

16.3.4 展开定理的叙述362

16.3.3 贝塞耳函数的归一性362

16.3.5 圆膜振动问题363

第四节 第二和第三类贝塞耳函数365

16.4.1 第二类贝塞耳函数365

16.4.2 第三类贝塞耳函数367

16.4.3 球贝塞耳函数368

第五节 变形(或虚变量)贝塞耳函数和贝塞耳函数的渐近公式370

16.5.1 变形贝塞耳函数370

16.5.2 贝塞耳函数的渐近公式372

16.5.3 可以化为贝塞耳方程的微分方程374

公式表374

习题377

第一节 埃尔米特多项式380

17.1.1 埃尔米特微分方程的导出380

17.1.2 幂级数解和埃尔米特多项式的定义381

17.1.3 埃尔米特多项式的母函数382

17.1.4 埃尔米特多项式的正交性和归一性383

第二节 拉盖尔多项式384

17.2.1 拉盖尔微分方程的导出384

17.2.2 幂级数解和拉盖尔多项式的定义385

17.2.3 拉盖尔多项式的母函数386

17.2.4 拉盖尔多项式的正交性和归一性387

第三节 特征值和特征函数388

17.3.1 特征值和特征函数的概念388

17.3.2 特征值和特征函数的性质389

17.3.3 斯图谟-刘维尔型微分方程边值问题的例子389

习题391

附录392

付里叶变换表392

拉普拉斯变换表393

中国人名表396