《高等数学（数学物理方法）（物理类专业用）（第二版）第四册》求取 ⇩

第一篇复变函数论1

第一章 复数与复变函数2

第一节 复数2

1.1.1.复数域2

1.1.2.复平面3

1.1.3.复数的模与幅角4

1.1.4.复数的乘幂与方根6

第二节 复变函数的基本概念8

1.2.1.区域与约当曲线8

1.2.2.复变函数的概念11

1.2.3.复变函数的极限与连续性12

第三节 复球面与无穷远点14

1.3.1.复球面14

1.3.2.闭平面上的几个概念15

习题16

2.1.1.导数的定义19

第二章 解析函数19

第一节 解析函数的概念及哥西-黎曼条件19

2.1.2.哥西-黎曼条件20

2.1.3.解析函数的定义24

第二节 解析函数与调和函数的关系24

2.2.1.共轭调和函数的求法24

2.2.2.共轭调和函数的几何意义26

第三节 初等解析函数28

2.3.1.初等单值函数28

2.3.2.初等多值函数31

习题38

第三章 哥西定理 哥西积分41

第一节 复变积分的概念及其简单性质41

3.1.1.复变积分的定义及其计算方法41

3.1.2.复变积分的简单性质44

3.2.1.哥西积分定理45

第二节 哥西积分定理及其推广45

3.2.2.不定积分46

3.2.3.哥西积分定理推广到复围线的情形48

第三节 哥西积分公式及其推广51

3.3.1.哥西积分公式51

3.3.2.解析函数的无限次可微性53

3.3.3.模的最大值原理 哥西不等式 刘维尔定理 摩勒纳定理55

3.4.1.什么叫平面场57

第四节 解析函数在平面场中的应用57

3.4.2.复位势58

3.4.3.举例60

习题64

第四章 解析函数的幂级数表示66

第一节 函数项级数的基本性质66

4.1.1.数项级数66

4.1.2.一致收敛的函数项级数68

4.2.1.幂级数的敛散性72

第二节 幂级数与解析函数72

4.2.2.解析函数的幂级数表示76

第三节 罗朗级数81

4.3.1.双边幂级数的收敛圆环81

4.3.2.解析函数的罗朗展式82

4.3.3.罗朗展式举例85

第四节 单值函数的孤立奇点89

4.4.1.孤立奇点的三种类型89

4.4.2.可去奇点90

4.4.3.极点91

4.4.4.本性奇点93

4.4.5.解析函数在无穷远点的性质93

习题96

第五章 残数及其应用99

第一节 残数99

5.1.1.残数的定义及残数定理100

5.1.2.残数的求法101

5.1.3.无穷远点的残数104

第二节 利用残数计算实积分106

5.2.1.∫2π0 R(cosθ，sinθ)dθ 的计算106

5.2.2.∫∞(-∞)f(x)dx 的计算109

5.2.3.实轴上有奇点的情形113

5.2.4.其他例子115

习题120

第六章 保角变换123

第一节 解析变换的特性123

6.1.1.单叶变换123

6.1.2.解析函数的保角性125

6.1.3.拉普拉斯算符的变换126

第二节 线性变换128

6.2.1.几种最简单的保角变换128

6.2.2.线性变换130

6.2.3.线性变换的保圆周性132

6.2.4.线性变换的保对称点性133

6.2.5.线性变换的应用134

第三节 某些初等函数所构成的变换137

6.3.1.幂函数与根式函数137

6.3.2.指数函数与对数函数139

习题142

第二篇数学物理方程144

第七章 一维波动方程的付氏解145

第一节 一维波动方程——弦振动方程的建立145

7.1.1.弦振动方程的建立145

7.1.2.定解条件的提出147

第二节 齐次方程混合问题的付里叶解法(分离变量法，驻波法)149

7.2.1.利用分离变量法求解齐次弦振动方程的混合问题149

7.2.2.付氏解的物理意义155

第三节 电报方程157

第四节 强迫振动 非齐次方程的求解160

习题163

8.1.1.热传导方程的建立166

第一节 热传导方程和扩散方程的建立166

第八章 热传导方程的付氏解166

8.1.2.扩散方程的建立168

8.1.3.定解条件170

第二节 混合问题的付氏解法171

第三节 初值问题的付氏解法173

8.3.1.付氏积分173

8.3.2.利用付氏积分解热传导方程的初值问题175

8.3.3.付氏解的物理意义178

第四节 一端有界的热传导问题181

8.4.1.定解问题的解181

8.4.2.举例183

8.4.3.杜赫美原则187

习题191

第九章 拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解193

第一节 圆的狄利克雷问题193

9.1.1.定解问题的提法193

9.1.2.定解问题的付氏解法194

第二节 δ函数198

9.2.1.δ函数的引入198

9.2.2.δ函数的性质199

9.2.3.把δ函数看作是弱收敛函数序列的弱极限201

9.2.4.高维空间中的δ函数及δ函数的其他性质203

习题205

第十章 波动方程的达朗贝尔解208

第一节 弦振动方程初值问题的达朗贝尔解法208

10.1.1.达朗贝尔解的推出208

10.1.2.达朗贝尔解的物理意义210

10.1.3.举例211

10.1.4.依赖区间 决定区域和影响区域213

第二节 高维波动方程215

10.2.1.三维波动方程的初值问题215

10.2.2.降维法217

10.2.3.解的物理意义218

10.3.1.非齐次波动方程的初值问题220

第三节 非齐次波动方程 推迟势220

10.3.2.非线性方程222

习题224

第十一章 数学物理方程的解的积分公式227

第一节 格林公式 调和函数的基本性质227

11.1.1.球对称解227

11.1.2.格林公式228

11.1.3.调和函数的基本性质229

第二节 拉普拉斯方程的球的狄利克雷问题236

11.2.1.边值问题的提法236

11.2.2.球的狄利克雷问题236

11.2.3.狄利克雷外问题240

第三节 格林函数241

11.3.1.格林函数的定义241

11.3.2.举例244

11.3.3.格林函数的对称性246

11.3.4.保角变换法248

第四节 泊松方程249

11.4.1.泊松方程的导出249

11.4.2.泊松方程的狄利克雷问题250

习题252

第十二章 定解问题的适定性254

第一节 弦振动方程的初值问题的适定性255

第二节 弦振动方程混合问题的适定性257

12.2.1.解的存在性257

12.2.2.能量积分和解的唯一性259

第三节 狄利克雷问题的适定性262

12.2.1.解的唯一性262

12.3.2.解的稳定性263

第四节 热传导方程混合问题的适定性264

12.4.1.极值原理264

12.4.2.解的唯一性266

12.4.3.解的稳定性266

12.5.1.解的唯一性和稳定性267

第五节 热传导方程初值问题的适定性267

12.5.2.解的存在性269

第六节 拉普拉斯方程狄利克雷问题的解的唯一性271

12.6.1.三维空间狄利克雷外问题解的唯一性271

12.6.2.二维空间狄利克雷外问题解的唯一性272

第七节 定解问题不适定之例273

12.7.1.不适定问题举例273

12.7.2.对不适定问题的研究275

第八节 三类方程的比较277

12.8.1.关于定解问题的提法277

12.8.2.关于解的性质277

12.8.3.关于时间的反演279

习题281

第十三章 付里叶变换283

第一节 付氏变换的定义及其基本性质283

13.1.1.付氏变换的定义283

13.1.2.付氏变换的基本性质284

13.1.3.n 维付氏变换287

13.1.4.δ函数的付氏变换287

第二节 用付氏变换解数理方程举例288

第三节 基本解290

13.3.1.基本解的物理意义290

13.3.2.基本解的定义292

13.3.3.非定常型非齐次方程的基本解300

习题301

第十四章 拉普拉斯变换303

第一节 拉氏变换的定义和它的逆变换303

14.1.1.付氏变换与拉氏变换303

14.1.2.拉氏变换的定义304

14.1.3.拉氏变换的存在定理和反演定理305

第二节 拉氏变换的基本性质及其应用举例308

第三节 展开定理320

14.3.1.展开定理320

14.3.2.用反演公式解数理方程举例322

习题326

第三篇特殊函数329

第十五章 勒让德多项式 球函数330

第一节 勒让德微分方程及勒让德多项式330

15.1.1.勒让德微分方程的导出330

15.1.2.幂级数解和勒让德多项式的定义332

15.1.3.勒让德多项式的微分表达式——洛德利格公式338

15.1.4.勒让德多项式的施列夫利积分表达式339

第二节 勒让德多项式的母函数及其递推公式340

15.2.1.勒让德多项式的母函数340

15.2.2.勒让德多项式的递推公式342

第三节 按勒让德多项式展开344

15.3.1.勒让德多项式的正交性344

15.2.2.勒让德多项式的归一性344

15.3.3.展开定理的叙述346

15.4.1.连带勒让德多项式的定义347

第四节 连带勒让德多项式347

15.4.2.连带勒让德多项式的正交性和归一性348

第五节 拉普拉斯方程在球形区域上的狄利克雷问题349

15.5.1.利用连带勒让德多项式 Pmn(x)得出方程(15.1)′的解350

15.5.2.确定出定解问题(15.1)′和(15.2)′的解350

公式表352

习题353

第十六章 贝塞耳函数 柱函数355

第一节 贝塞耳微分方程及贝塞耳函数355

16.1.1.贝塞耳微分方程的导出355

16.1.2.幂级数解和贝塞耳函数的定义356

第二节 贝塞耳函数的母函数及其递推公式360

16.2.1.贝塞耳函数的母函数360

16.2.2.贝塞耳函数的积分表达式361

16.2.3.贝塞耳函数的递推公式362

16.2.4.半奇数阶贝塞耳函数363

16.3.1.贝塞耳函数的零点366

第三节 按贝塞耳函数展开366

16.3.2.贝塞耳函数的正交性367

16.3.3.贝塞耳函数的归一性368

16.3.4.展开定理的叙述369

16.3.5.圆膜振动问题369

第四节 第二类和第三类贝塞耳函数371

16.4.1.第二类贝塞耳函数371

16.4.2.第三类贝塞耳函数374

16.4.3.球贝塞耳函数375

第五节 变形(或虚变量)贝塞耳函数和贝塞耳函数的渐近公式376

16.5.1.变形贝塞耳函数376

16.5.2.贝塞耳函数的渐近公式379

16.5.3.可以化为贝塞耳方程的微分方程382

公式表382

习题385

第一节 厄密多项式388

17.1.1.厄密微分方程的导出388

第十七章 厄密多项式和拉盖尔多项式388

17.1.2.幂级数解和厄密多项式的定义389

17.1.3.厄密多项式的母函数390

17.1.4.厄密多项式的正交性和归一性391

第二节 拉盖尔多项式392

17.2.1.拉盖尔微分方程的导出392

17.2.2.幂级数解和拉盖尔多项式的定义393

17.2.3.拉盖尔多项式的母函数394

17.3.1.特征值和特征函数的概念396

17.2.4.拉盖尔多项式的正交性和归一性396

第三节 特征值和特征函数396

17.3.2.特征值和特征函数的性质397

17.3.3.斯图谟-刘维尔型微分方程边值问题的例子398

习题399

附录400

付里叶变换表400

拉普拉斯变换表401

外国人名表404