《中学数学现代基础》

第一章数学的方法论基础1

1 数学的对象和特征1

1.关于数学方法论1

2.数学的对象2

3.数学的特征3

2 数学发展的基本时期5

1.引言5

2.数学的萌芽5

3.常量数学8

4.变量数学13

5.数学发展的现代时期14

6.现代数学的特征及其发展前景20

3 认识的数学方法23

1.数学与现实23

2.现实的数学模型24

3.作为数学模型例子的数、形、集合的概念26

4.等同的抽象29

5.理想化及其在数学中的作用30

4 公理化方法33

1.数学中的公理化方法33

2.公理化举例34

3.与数学中的公理化方法有关的一般概念36

4.形式的公理化理论40

5.公理与数学构造42

第二章中学数学的集合论观点48

1 “朴素”集合论与公理集合论48

1.“朴素”集合论48

2.集合论的策梅罗—弗兰克尔公理体系50

2 结构与结构种类54

1.集合的笛卡儿积54

2.集合的等级表55

3.数学对象的集合论构造57

4.结构种类61

5.结构种类举例62

3 集合论与中学数学64

1.中学数学中的数集64

2.点集66

3.集合论在中学数学中的作用67

4.中学数学中的集合包含关系68

5.中学数学中集合的运算70

6.中学数学中集合的笛卡儿积73

1.引言76

4 中学数学中的对应与关系76

2.基本概念77

3.等价关系与分类79

4.序关系81

5.中学数学中的主要对应与关系及其性质84

6.算术和代数中的等价关系88

7.中学数学中的等价类89

8.等价关系与变换群90

9.齐次空间与中学数学92

1.基本概念94

1 映射与结构94

第三章中学数学课程的映射与函数94

2.结构的射96

3.不变结构98

4.中学数学中研究的映射的基本形式101

5.中学数学里结构的射与映射的运算103

6.中学数学中的拓扑空间和度量空间105

7.中学数学中的连续映射与同胚映射107

2 数值函数108

1.项与函数108

2.给出函数的其他方法111

3.中学数学中的连续函数114

4.初等函数的集合116

5.指数函数与群(R，+)到群(R+，·)上的同构映射118

6.指数函数的性质122

7.引进指数函数概念的其他方法124

8.三角函数126

9.三角函数与平面旋转130

10.三角函数与微分方程131

3 有限集的映射与组合论133

1.组合论的基本原理133

2.组合论的基本公式136

1.代数运算140

第四章中学数学课程的代数与算术基础140

1 代数运算与代数140

2.逆运算143

3.中学数学的基本代数运算147

4.代数148

5.代数的一些种类150

6.中学数学中代数的基本类型152

2 项及其变形154

1.代数中的项154

2.幂与倍数156

3.单项式与交换半群158

4.有理项160

3 代数的序·对称化162

1.半群中的序关系162

2.代数的对称化164

3.半环的扩张169

4 自然数172

1.引言172

2.皮亚诺公理体系173

3.归纳构造的基本定理175

4.皮亚诺公理体系的完备性180

5.皮亚诺公理体系的相容性182

6.作为良序半环的自然数集184

7.有限集与无限集185

8.以加法为基础的自然数集公理体系191

5 正数量和正实数193

1.正数量集合的公理体系193

2.正数量公理体系的相容性196

3.正数量公理体系的完备性198

4.正实数集 R+200

1 几何学的向量结构203

1.引言203

第五章中学几何的一些问题203

2.韦尔公理体系204

3.韦尔公理体系的其他方案206

4.韦尔公理体系的相容性和完备性209

5.标架与坐标210

6.直线213

7.射线216

8.线段217

9.平面218

10.半平面221

11.长度与角度223

12.运动226

13.点——向量仿射空间230

14.韦尔公理体系与中学几何234

2 几何的度量结构236

1.柯尔莫戈洛夫建立欧几里得平面结构的逻辑纲要236

2.韦尔公理体系与柯尔莫戈洛夫公理体系的联系244

3 几何量的度量246

1.量的一般定义246

2.量的直接度量248

3.Rk 中体积的度量249

4.曲线的长度253

5.曲线长度的存在性254

6.长度的唯一性256

7.弧长的下半连续性258

8.曲面的面积258

第六章中学数学的语言261

1 名字 意义 涵义261

1.名字261

2.名字和涵义263

3.语句265

4.常元与变元267

5.形式269

1.数学语言272

2 中学数学的基本符号272

2.数学符号274

3.中学数学的字母表276

4.中学代数的字母表280

5.中学几何的字母表281

6.数学分析初步的语言283

7.中学代数语言的句法287

8.中学代数语言的语义290

9.式291

10.几何和分析初步中的项与式292

11.初等式293

第七章中学数学的逻辑295

1 数学命题295

1.中学数学中的数学命题295

2.逻辑等价性与逻辑推理297

3.完全逻辑的陈述299

2 定义301

1.引言301

2.名目定义和实在定义302

3.被定义项与定义项304

4.合理的定义和不合理的定义306

5.存在性与唯一性308

6.摹状词310

7.公理化定义311

8.古典定义313

9.递归定义315

3 证明316

1.形式化的证明和有内容的证明316

2.推理规则319

3.间接证明322

4.用数学归纳法证明326

参考文献328