《现代数学分析基础》

第一章集合和函数1

1.集合1

2.函数3

第二章实数系7

3.实数的代数公理7

4.实数的序公理9

5.上确界公理10

6.正整数集12

7.整数、有理数和指数15

第三章集合等价19

8.定义和例子19

9.可数集和不可数集21

10.序列的极限24

第四章实数序列24

11.子序列28

12.极限的代数30

13.有界序列34

14.更进一步的极限定理35

15.发散序列36

16.单调序列和数 e37

17.实指数42

18.波尔察诺-维尔斯特拉斯定理45

19.哥西条件46

20.有界序列的上极限和下极限47

21.无界序列的上极限和下极限54

第五章无穷级数58

22.无穷级数的和58

23.级数的代数运算61

24.非负项级数62

25.交错级数判别法65

26.绝对收敛67

27.幂级数74

28.条件收敛76

29.二重级数及其应用79

第六章实数直线上的实值函数和连续函数的极限89

30.函数极限的定义89

31.函数的极限定理91

32.单边极限和无穷极限93

33.连续性94

34.海因-波雷尔定理和一个关于连续函数的推论96

35.距离函数100

第七章距离空间100

36.Rn,l2和哥西-许瓦尔兹不等式103

37.距离空间中的序列107

38.闭集111

39.开集114

40.距离空间上的连续函数117

41.相对距离121

42.紧距离空间124

43.紧距离空间的波尔察诺-维尔斯特拉斯刻划126

44.紧距离空间上的连续函数130

45.连通的距离空间132

46.完备距离空间135

47.贝尔范畴定理141

48.基本的定义和定理145

第八章实数直线上的微分学145

49.中值定理和洛必大法则149

50.泰勒定理155

第九章黎曼-斯蒂阶斯积分159

51.关于递增积分子的黎曼-斯蒂阶斯积分160

52.黎曼-斯蒂阶斯和170

53.关于任意积分子的黎曼-斯蒂阶斯积分175

54.有界变差函数178

55.关于有界变差函数的黎曼-斯蒂阶斯积分183

56.黎曼积分188

57.零测集192

58.黎曼积分存在的充分必要条件196

59.广义黎曼-斯蒂阶斯积分199

60.逐点收敛和一致收敛205

第十章函数的序列和级数205

61.一致收敛序列的积分和微分207

62.函数项级数211

63.在幂级数中的应用216

64.阿贝尔极限定理220

65.可和性方法与陶伯定理222

第十一章超越函数225

66.指数函数225

67.自然对数函数228

68.三角函数230

第十二章内积空间和傅里叶级数236

69.赋范线性空间236

70.内积空间 R3239

71.内积空间242

72.内积空间中的正交系245

73.周期函数248

74.傅里叶级数:定义和例子250

75.内积空间中的标准正交展开254

76.?〔a,a+2π〕中的傅里叶级数的逐点收敛性259

77.傅里叶级数的塞萨罗可和性264

78.?〔a,a+2π〕中的傅里叶级数271

79.一个陶伯定理及其在傅里叶级数中的应用278

第十三章赋范线性空间和黎斯表示定理282

80.赋范线性空间和连续线性变换282

81.连续线性变换的赋范线性空间285

82.赋范线性空间的对偶空间288

83.黎斯表示定理的介绍291

84.黎斯表示定理的证明293

第十四章勒贝格积分299

85.广义实数直线299

86.σ代数和正测度300

87.可测函数304

88.正测度空间上的积分310

89.R 上的勒贝格测度322

90.〔a,b〕上的勒贝格测度332

91.希尔伯特空间 ?(X.?.?.)336

附录:向量空间343

参考文献345

选题提示347

中外人名对照354

中英名词对照355