《现代分析基础 第1卷》

目录1

第一章 集论初步1

1．元素与集2

2．布尔代数3

3．两个集的积4

4．映射5

5．象与逆象7

6．满映射，单映射与双映射9

7．映射的合成10

8．元素的族．集族的并与交11

9．可数集14

第二章 实数18

1．实数公理18

2．实数的序性质19

3．上确界与下确界25

第三章 距离空间29

1．距离与距离空间30

2．距离的例子30

3．等距32

4．球，球面，直径33

5．开集35

6．邻域36

7．集的内部37

8．闭集，触点，集的闭包38

9．稠密子集；可分空间41

10．距离空间的子空间43

11．连续映射46

12．同胚．等价距离49

13．极限50

14．Cauchy序列．完备空间53

15．初等延拓定理57

16．紧空间59

17．紧集63

18．局部紧空间67

19．连通空间与连通集68

20．两个距离空间的积73

第四章 实直线的补充性质81

1．代数运算的连续性81

2．单调函数84

3．对数与指数87

4．复数90

5．Tietze-Urysohn延拓定理92

第五章 赋范空间94

1．赋范空间与Banach空间94

2．赋范空间中的级数98

3．绝对收敛级数101

4．赋范空间的子空间与有限积106

5．多重线性映射连续的条件108

6．等价范数111

7．连续多重线性映射空间112

8．闭超平面与连续线性型116

9．有限维赋范空间118

10．可分赋范空间120

第六章 Hilbert空间122

1．Hermite型122

2．正Hermite型124

3．完备子空间上的直交射影127

4．Hilbert空间的Hilbert和131

5．标准直交系135

6．标准直交化方法138

第七章 连续函数空间141

1．有界函数空间141

2．有界连续函数空间143

3．Stone-Weierstrass逼近定理146

4．应用149

5．等度连续集151

6．正则函数155

第八章 微分学158

1．连续映射的导数159

2．形式求导法则162

3．连续线性函数空间中的导数165

4．单变量函数的导数166

5．中值定理171

6．中值定理的应用175

7．原函数与积分179

8．应用：数e186

9．偏导数187

10．Jacobi行列式191

11．含参量积分的导数193

12．高阶导数196

13．微分算子205

14．Taylor公式208

第九章 解析函数217

1．幂级数219

2．幂级数代入幂级数222

3．解析函数224

4．解析开拓原理228

5．解析函数的例子；指数函数；数π232

6．沿路径的积分240

7．单连通域中解析函数的原函数244

8．点对于回路的指数246

9．Cauchy公式249

10．复变数解析函数的表征255

11．Liouville定理257

12．解析函数的收敛序列259

13．解析函数的等度连续集263

14．Laurent级数265

15．孤立奇点；极点；零点；残数267

16．残数定理272

17．亚纯函数274

1．点对闭路的指数279

附录 解析函数在平面拓扑学上的应用（Eilenberg方法）279

2．单位圆中的本质映射280

3．平面的分割282

4．简单弧与简单闭曲线284

第十章 存在定理294

1．逐次逼近法295

2．隐函数301

3．秩定理310

4．微分方程317

5．微分方程解的比较320

6．线性微分方程329

7．解对参数的依赖性331

8．解对初始条件的依赖性341

9．Frobenius定理346

第十一章 初等谱论351

1．连续算子的谱351

2．紧算子355

3．F．Riesz理论359

4．紧算子的谱363

5．Hilbert空间的紧算子369

6．Fredholm积分方程384

7．Sturm-Liouville问题394

附录 线性代数概要403

1．向量空间403

2．线性映射406

3．子空间的直和409

4．基，维数与余维数411

5．矩阵417

6．多重映射，行列式418

7．行列式的子式423

参考文献426

符号表427

索引433