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第一章集合与映射1

1 集合1

1.1 集合的概念1

1.2 集合的基本运算2

1.3 集的积4

1.4 上(下)界，最大(小)元，上(下)确界5

2 映射7

2.1 映射的概念7

2.2 映射的例子9

2.3 映射的复合13

2.4 单射、满射、双射15

2.5 逆映射15

2.6 直接象与原象18

3 等价关系19

3.1 二元关系19

3.2 等价关系20

3.3 等价类22

3.4 商集23

3.5 序关系24

4 同构25

5 可数集与不可数集28

5.1 集的势28

5.2 可数集与不可数集28

5.3 区间〔0，1〕的不可数性30

6 量词及例31

6.1 量词31

6.2 例31

习题33

1.1 建立实数理论的必要性37

1 实数的构造37

第二章实数的构造以及有关实数的定理37

1.2 Cauchy 序列和等价的 Cauchy 序列38

1.3 实数的加法40

1.4 实数的乘法42

1.5 实数域是有理数域的扩张46

1.6 实数的比较46

2 有关实数的定理48

2.1 Q 在 R 内的稠密性48

2.2 Cauchy 收敛准则49

2.3 确界定理51

2.4 有关单调数列的一个定理54

2.5 Bolzano—Weierstrass 定理55

2.6 闭区间套定理56

2.7 有限覆盖定理57

2.8 有关实数定理的相互推证举例60

3 闭区间上连续函数的性质62

3.1 有界性与最大(小)值定理62

3.2 介值定理64

3.3 Cantor 一致连续定理65

3.4 有关反函数的一个定理66

4.1 上、下极限的概念与定义69

4 上、下极限69

4.2 上、下极限的性质70

习题73

第三章级数77

1 常数项级数77

1.1 基本概念77

1.2 Cauchy 收敛准则78

2 正项级数80

2.1 正项级数的比较判别法80

2.2 Cauchy 判别法和 D′Alembert 判别法82

3.1 级数的绝对收敛与条件收敛86

3 任意项级数86

3.2 Abel 变换88

3.3 Dirichlet 判别法与 Abel 判别法90

4 绝对收敛级数的性质92

4.1 绝对收敛级数关于项的可交换性92

4.2 级数的乘法97

5 函数序列及其一致收敛性105

5.1 点态收敛与一致收敛105

5.2 与一致收敛定义等价的其它条件108

5.3 一致收敛与连续性111

5.4 一致收敛序列的积分112

5.5 一致收敛序列的微分113

6 函数项级数及其一致收敛性114

6.1 函数项级数及其收敛的定义114

6.2 一致收敛级数的性质114

6.3 函数项级数的一致收敛判别法116

7 幂级数122

7.1 Abel 定理与幂级数的收敛半径122

7.2 Abel 定理的应用124

7.3 幂级数的逐项微分与逐项积分127

习题129

第四章度量空间134

1 Euclid 空间134

1.1 n 维 Euclid 空间134

1.2 范数及其性质136

1.3 H？lder 不等式和 Минковский 不等式137

2 度量空间141

2.1 距离和度量空间141

2.2 度量空间的其它例子143

2.3 序列的收敛145

2.4 开集和闭集148

2.5 紧集153

3 连续映射158

3.1 连续映射及其性质158

3.2 一致连续161

3.3 压缩映射及其应用163

4 Weierstrass 逼近定理171

4.1 Стеклов 函数171

4.2 Стеклов 函数的卷积表示173

4.3 Weiersrass 逼近定理174

4.4 Bernstein 多项式177

习题182

第五章微分和可微映射187

1 预备知识187

1.1 向量值函数187

1.2 线性变换及其矩阵187

1.3 线性变换的复合189

1.4 空间 L(Rn，Rm)190

2 方向导数与偏导数192

2.1 方向导数192

2.2 偏导数192

2.3 方向导数、偏导数存在与函数连续之关系193

3 微分194

3.1 微分的定义194

3.2 可微性与连续性以及与方向导数存在性之间的关系197

3.3 DF(X)的矩阵(Jacobian 矩阵)200

3.4 链法则202

3.5 C1类映射208

4 隐函数存在定理及其应用210

4.1 由一个方程确定的隐函数存在定理212

4.2 由方程组确定的隐函数存在定理218

4.3 反函数存在定理229

4.4 条件极值230

习题239

第六章Rn 内的积分246

1 R1内的 Riemann 积分246

1.1 〔a，b〕的分划246

1.2 Riemann 积分247

1.3 Darboux 积分249

1.4 Darboux 可积的充要条件252

1.5 Darboux 可积与 Riemann 可积的关系256

1.6 积分的基本性质258

2.1 n 维区间的容积266

2 Rn 内的容积266

2.2 有界点集的容积269

3 Rn 内积分273

3.1 分划273

3.2 Rn 内的 Riemann 积分274

3.3 Rn 内的 Darboux 积分276

3.4 Darboux 可积的充要条件278

3.5 D-可积与 R-可积的关系278

4 重积分的计算283

4.1 化积分为累次积分283

4.2 重积分的变量替换288

5 微分形式与外微分307

5.1 坐标变换与空间的定向307

5.2 一次微分形式及其积分310

5.3 二次微分形式及其积分313

5.4 三次微分形式及其积分321

5.5 推广323

5.6 外微分325

5.7 Stokes 公式327

习题330

附录Lebesgue 积分335

1 零测度集336

2 简单函数及其积分337

3 简单函数的单调序列338

4 C1类函数及其积分343

5 一般区间Ⅰ上的 Lebesgue 积分及其性质349

6 Levi 单调收敛定理354

7 Lebesgue 控制收敛定理与 Fatou 定理359

8 可测函数与可测集364

9 平方可积函数类 L2(Ⅰ)370

习题376