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第一章数学的方法论基础1

1数学的对象及其特点1

1．数学的方法1

2．数学的对象2

3．数学的特点3

2数学发展的主要阶段5

1．引言5

2．数学的起源5

3．常量数学7

4．变量数学12

5．数学发展的现代时期13

6．现代数学的特点及其发展前景18

3数学的认识论22

1．数学和现实22

2．现实的数学模型22

3．作为数学模型的实例的数、形和集合的概念24

4．同一性的抽象27

5．理想化及其在数学中的作用28

4公理化方法31

1．数学中的公理化方法31

2．公理化的实例32

3．数学中与公理化方法相联系的一般概念34

4．形式化公理理论38

5．公理学与数学结构40

第二章中小学数学中的集合论观点45

1“朴素”集合论和公理集合论45

1．“朴素”集合论45

2．集合论的策莫洛——弗兰克尔公理47

2结构与结构的类型51

1．集合的笛卡尔积51

2．集合的刻度52

3．数学对象的集合论构造54

4．结构的类型57

5．结构类型的实例59

3中小学数学和集合论61

1．中小学数学中的数集61

2．点集63

3．集合论在中小学数学中的作用64

4．中小学数学中集合的包含关系65

5．中小学数学中集合的运算67

6．中小学数学中集合的笛卡尔积69

4中小学数学中的对应和关系72

1．引言72

2．基本概念74

3．等价关系和分类76

4．序关系77

5．中小学数学中的基本对应和关系以及它们的性质80

6．算术和代数中的等价关系84

7．中小学数学中的等价类84

8．等价关系和变换群86

9．齐次空间和中小学数学88

第三章中小学数学里的映射和函数90

1映射和结构90

1．基本概念90

2．结构的态92

3．不变的结构94

4．中小学数学里研究的映射的基本形式97

5．中小学数学里结构的态以及在映射上的运算99

6．中小学数学里的拓扑空间和度量空间100

7．中小学数学里的连续映射和同胚映射102

2数值函数104

1．项和函数104

2．表示函数的其他方法106

3．中小学数学里的连续函数109

4．初等函数集111

5．指数函数和群（R;+）到群（R+;·）的同构映射113

6．指数函数的性质117

7．对于指数函数概念的其他处理方法118

8．三角函数121

9．三角函数和平面的旋转123

10．三角函数与微分方程125

3有限集合的映射和组合分析127

1．组合分析的基本法则127

2．组合分析的基本公式129

第四章中小学数学的代数和算术基础134

1代数运算和代数134

1．代数运算134

2．逆运算137

3．中小学数学的基本代数运算140

4．代数142

5．代数的若干种类144

6．中小学数学里代数的基本类型145

2项及其变换148

1．代数中的项148

2．幂和倍数149

3．单项式和可交换半群151

4．有理式153

3代数的序，对称化155

1．半群里的序关系155

2．代数的对称化156

3．半环的扩张161

4自然数164

1．引言164

2．皮亚诺公理165

3．关于归纳法构造的基本定理167

4．皮亚诺公理的绝对性171

5．皮亚诺公理的无矛盾性173

6．作为完全有序半环的自然数集合175

7．有限集合和无限集合176

8．建立在加法基础上的自然数集合的公理181

5正的数量值和正实数183

1．正的数量值集合公理183

2．正的数量值公理的无矛盾性187

3．正的数量值公理的绝对性189

4．正实数集R+190

第五章中小学几何的若干问题193

1几何的向量构造193

1．引言193

2．韦尔公理194

3．韦尔公理的其他变形196

4．韦尔公理的无矛盾性和绝对性198

5．框架和坐标199

6．直线202

7．射线204

8．线段205

9．平面206

10．半平面209

11．长度和角的测量211

12．运动213

13．点-向量仿射空间217

14．韦尔公理和中小学几何220

2几何度量空间222

1．按柯尔莫果洛夫理论建立欧几里得平面结构的逻辑图式222

2．韦尔公理体系和柯尔莫果洛夫公理体系的联系229

3几何量的测量231

1．量的一般定义231

2．量的直接测量233

3．Rk里体积的测量234

4．曲线的长度237

5．曲线长度的存在性239

6．长度的唯一性240

7．弧长的下半连续241

8．曲面的面积242

第六章中小学数学的语言244

1名称、值、意义244

1．名称244

2．名称和意义246

3．命题248

4．常元和变元249

5．式251

2中小学数学的基本符号254

1．数学语言254

2．数学符号256

3．中小学数学的字母表258

4．中小学代数的字母表261

5．中小学几何字母表263

6．数学分析原理的语言264

7．中小学代数语言的结构267

8．中小学代数语言的词义271

9．公式272

10．几何和分析原理中的项和公式272

11．基本公式274

第七章中小学数学的逻辑275

1数学命题275

1．中小学数学里的数学命题275

2．逻辑等价和逻辑推断277

3．全逻辑公式279

2定义281

1．引言281

2．名义上的定义和实际的定义282

3．被定义的和定义的283

4．正确的和不正确的定义286

5．存在性和唯一性287

6．描述法289

7．公理化定义290

8．古典定义292

9．递归定义293

3证明295

1．形式证明和内容证明295

2．推断规则298

3．间接证明300

4．用数学归纳法证明304

参考文献306