《中学基础知识讲座 现代数学 第2集》

目次1

第四讲 实数与极限1

一、实数的公理化1

1.1 实数公理1

1.2 从公理推出的一些基本性质3

1.3 实数的稠密性与连续性定理5

1.4 自然数与归纳原理8

习题一12

二、点集与极限13

2.1 欧氏空间13

2.2 开集与闭集17

2.3 扩充的实直线与复平面19

2.4 点函数的极限22

2.5 极限的运算与中间极限定理29

2.6 复合函数的极限34

习题二35

三、极限的几个基本定理38

3.1 单调有界数列定理38

3.2 聚点定理43

3.3 子数列定理45

3.4 阿基米德性质与柯西定理46

3.5 阿基米德性质与康脱定理51

3.6 上面几个定理与实数连续公理的等价性55

习题三57

第五讲 连续与导数59

一、连续函数59

1.1 点函数的连续59

1.2 连续函数的运算与复合61

1.3 函数的不连续62

1.4 连续函数的性质65

1.5 反函数的连续性70

1.6 一致连续72

二、初等函数的连续性76

2.1 无理指数幂76

2.2 指数函数的连续性77

2.3 对数函数与实指数幂函数的连续性79

2.4 初等函数的连续性80

习题一80

三、一元实函数的导数82

3.1 导数的意义82

3.2 求导数的法则86

3.3 中值定理92

3.4 高阶导数与代劳（Taylor）定理95

3.5 局部极值的判定98

3.6 压缩函数与迭代原理101

习题二104

4.1 二元实函数的偏导数107

四、二元实函数与复函数的导数与微分107

4.2 一元与二元实函数的微分110

4.3 复函数及其导数116

4.4 复初等函数及其导数121

习题三125

第六讲 积分127

一、一元实函数的不定积分127

1.1 不定积分的意义与法则127

1.2　换元与分部积分法130

1.3　有理函数的积分法134

1.4 可有理化的积分139

习题一145

二、一元实函数的定积分148

2.1 定积分的定义与存在148

2.2 定积分的性质与中值定理152

2.3 定积分与不定积分156

2.4 定积分的应用161

习题二172

三、二元实函数与复函数的积分175

3.1 域175

3.2 约当测度176

3.3 二重积分的定义与存在181

3.4 二重积分的性质182

3.5 二重积分的计算185

3.6 变力作功与曲线积分192

3.7 曲线积分的存在与计算195

3.8 复函数的积分199

习题三204

〔附录〕部份分数理论207

第七讲 级数212

一、数项级数212

1.1 基本概念与基本性质212

1.2 级数的敛散判别法221

1.3 无穷积分与级数判别233

1.4 级数的运算237

1.5 复数项级数247

习题一250

二、函数项级数253

2.1 函数项级数及其一致收敛253

2.2 一致收敛级数的性质258

习题二263

三、幂级数264

3.1 幂级数及其敛散264

3.2 幂级数的一致收敛及其性质269

3.3 函数展开为幂级数275

3.4 复指数函数280

3.5 幂级数在中学数学的应用282

习题三294

〔附〕习题解答297