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第一章 集合论基础1

1 集合及集合的运算1

1.1. 集合与子集合1

前言页1

1.2 集合的运算2

2 集合之间的对应与集合的映射5

2.1 对应与映射5

2.2 一一映射6

2.3 集合的等价性7

2.4 集合的分类7

3.1 有序集合的概念12

3 有序集合12

3.2 全排列13

3.3 置换16

3.4 排列19

3.5 组合20

3.6 牛顿二项式22

4 数学归纳法23

5 二元运算的集合26

5.1 集合的二元运算26

5.2 集合的同构27

5.3 群28

5.4 环30

5.5 域31

6 矩阵和行列式32

第二章 实数37

1 自然数38

1.1 自然数集合38

1.2 自然数集合的公理结构41

1.3 质数 算术基本定理43

1.4 自然数整除性的某些准则45

1.5 最小公倍数、最大公因数△欧几里得算法45

2.1 整数集合50

2 整数50

2.2 整数的算术运算52

3 有理数55

3.1 有理分数55

3.2 有理数60

3.3 整数和有理数62

3.4 有理数集合是整数集合的扩大63

4 实数64

4.1 实数集合是有理数集合的扩大64

4.2 实数集合的公理结构65

4.3 实数集合的十进小数表示69

4.4 实数集的几何表示72

4.5 有理数与无理数的小数表示73

4.6 证明无理数的几个方法76

4.7 代数数与超越数80

4.8 幂与根82

4.9 对数84

5 小数85

5.1 十进位计数制85

5.2 小数的概念87

5.3 有限小数的算术运算90

5.4 化有限小数为有理分数93

5.5 化无限循环小数为有理分数93

6 连分数96

7 计算方法101

7.1 数的近似值和误差101

7.2 近似值的小数写法103

7.3 数的舍入105

7.4 切线法106

7.5 自然数平方根的求法108

第三章 复数110

1 复数集合112

1.1 复数集合的公理结构112

1.2 有序的实数对集合与复数集合115

2.2 复数的和与差的几何表示118

2.1 复数的几何表示118

2 复数的几何表示及三角形式写法118

2.3 复数的三角形式119

3 复数的幂121

3.1 复数和乘方121

3.2 复数的开方122

第四章 代数124

1 一元多项式125

1.1 多项式的概念和多项式的算术运算125

1.2 多项式的因式127

1.3 多项式除法129

1.4 求两个多项式的最大公因式的欧几里得算法132

1.5 多项式的根134

1.6 乘法公式135

1.7 韦达定理136

1.8 代数基本定理137

1.9 多项式的因式分解137

1.10 代数基本定理在实系数多项式的情况下的某些推论138

2 多元多项式139

2.1 多元单项式和多项武139

2.2 多项式项的字汇排法140

3 有理代数分式141

3.1 代数分式的算术运算141

3.2 代数真分式144

3.3 最简分式145

3.4 比例146

4 无理代数式147

5 方程和代数方程150

5.1 基本定义150

5.2 线性方程153

5.3 二次方程153

5.4 二项式方程156

5.5 双二次方程158

5.6 可化为二次方程的某些四次方程160

5.7 整系数代数方程的解法162

5.8 有理代数方程164

5.9 无理方程165

5.10 绝对值方程169

5.11 在复数集里解方程171

5.12 焦范托夫方程175

6 超越方程175

6.1 指数方程177

6.2 对数方程177

7 方程组和线性方程组179

7.1 基本定义179

7.2 线性方程组180

7.3 消元法181

7.4 二元一次方程组188

7.5 线性方程组解的几何解释189

8 非线性代数方程组193

9 不等式198

9.1 不等式的定义及其基本性质198

9.2 几个重要不等式200

10 不等式和不等式组的解法202

10.1 基本定义202

10.2 线性不等式与线性不等式组203

10.3 二次不等式204

10.4 区间法206

10.5 无理不等式的解法208

10.6 指数不等式209

10.7 对数不等式210

10.8 二元不等式解集合的几何意义212

11 证明不等式的方法219

11.1 利用等价不等式链证明不等式219

11.2 利用不等式里的函数性质证明不等式221

11.3 证明不等式的几种特殊方法223

11.4 数值不等式的几种检验方法224

1 坐标系228

1.1 坐标轴228

第五章 坐标法228

1.2 平面笛卡尔直角坐标系230

1.3 极坐标系、极坐标与直角坐标的关系235

1.4 空间笛卡尔直角坐标系236

1.5 平面方程237

2 矢量238

2.1 矢量、基本概念238

2.2 角的度量制239

2.2 矢量间的夹角、矢量的数量积245

2.3 平面矢量的坐标246

2.4 空间矢量的坐标248

2.5 矢量积250

2.6 矢量的混合积251

3 解析几何初步252

3.1 直线252

3.2 圆255

3.3 椭圆256

3.4 双曲线258

3.5 抛物线261

第六章 几何264

1 射线、线段265

1.1 射线265

2.1 角的概念267

1.2 线段267

2 平面上的角267

2.3 角的弧度制270

2.4 角的分类270

2.5 方向间的角270

3 平面上的平行和垂直271

3.1 平面上的平行线271

3.2 平面上的垂直273

3.3 点到直线的距离273

4 空间里的平行和垂直274

4.1 直线与平面的平行274

4.3 直线与平面的垂直275

4.2 平行平面275

4.4 点到平面的距离276

4.5 平面的垂直276

4.6 斜线277

4.7 交错直线277

5 在平面上的投影277

5.1 平行投影277

5.2 垂直投影278

6 空间里的角279

6.1 斜线与平面间的夹角279

6.2 二面角279

7 折线和多边形280

6.3 二平面间的夹角280

8 三角形283

8.1 基本性质283

8.2 三角形的中线285

8.3 三角形的高286

8.4 三角形的角平分线287

8.5 三角形的中位线287

8.6 等腰三角形288

8.7 等边三角形288

8.8 直角三角形288

9.1 平行四边形290

9 四边形290

9.2 菱形291

9.3 矩形292

9.4 正方形292

9.5 梯形293

10 相似多边形294

10.1 多边形相似的判定定理294

10.2 三角形相似的判定定理295

11 圆周和圆296

11.1 圆周和圆296

11.2 切线与割线297

11.3 两圆的位置关系298

11.4 圆心角和圆弧300

11.5 圆弧和弦301

11.6 圆周角301

11.7 圆周长和圆面积302

12 多边形和圆303

12.1 内接多边形和外切多边形303

12.2 内接三角形304

12.3 外切三角形305

12.4 旁切圆305

12.6 内接四边形306

12.5 正三角形和直角三角形的边与内切圆和外接圆的半径间的关系306

12.7 外切四边形307

13 几何作图307

13.1 已知直线的平行线和垂线的作法308

13.2 角的作法309

13.3 线段的作法311

13.4 圆周和圆弧的作法315

13.5 圆周的切线的作法318

13.6 多边形的外接圆和圆的内接多边形的作法320

13.7 多边形的内切圆和圆的外切多边形的作法322

13.8 三角形的作法323

14 多面角327

15 多面面和多面体329

16 棱柱330

17 平行六面体和立方体332

18 棱锥和棱台333

19 正多面体336

20 旋转图形339

21 圆柱340

22 圆锥和圆台343

23 球面和球346

24 球缺348

24.1 球缺348

24.2 球扇形349

24.3 球层350

24.4 球带350

25 平面和空间的变换351

25.1 图形到图形内的映射和图形到图形上的映射351

25.2 平面和空间的变换351

25.3 空间和平面的等距变换及图形的相等353

25.4 平面的绕点旋转变换353

25.5 中心对称和中心对称图形354

25.6 平面的轴对称变换355

25.7 空间的轴对称356

25.9 平面的位似变换357

25.8 关于平面对称357

25.10 空间的位似变换359

25.11 平面的相似变换360

25.12 相似形361

26 公理体系及没有定义的几何概念(希尔伯特公理体系)361

第七章 三角368

1 三角函数368

1.1 角的概念推广368

1.2 三角函数370

1.3 单位圆的象限373

1.4 数值变量的三角函数374

1.5 反三角函数381

1.6 某些角的三角函数值385

2 三角公式389

2.1 简化公式389

2.2 同角三角函数问关系391

2.3 和角与差角的三角函数391

2.4 二倍角、三倍角和半角的三角函数391

2.5 三角函数的和(差)变积392

2.6 三角函数的积变和(差)394

2.7 反三角函数间的简单关系395

3 三角方程和三角不等式的解法397

3.1 最简三角方程397

3.2 较复杂的三角方程的例题400

3.3 最简三角不等式的解法405

3.4 反三角函数方程和反三角函数不等式的解法举例405

4 三角形中各元素间的关系408

4.1 基本公式408

4.2 三角形元素的计算409

第八章 极限论414

1 数列414

1.1 数列的概念414

1.2 给定数列的一些方法416

1.3 数列的几何表示417

1.4 有界数列417

1.5 单调数列418

2 数列的极限420

2.1 数列极限的概念420

2.2 数列收敛的必要条件424

2.3 关于数列极限的定理425

2.4 数列收敛的充分条件428

2.5 无穷数列收敛的充分必要条件435

3 数值级数437

3.1 数值级数的概念437

3.2 正项数值级数440

3.3 调和级数441

4.1 无穷乘积的概念442

4 无穷乘积442

4.2 无穷乘积与级数的关系443

5 级数443

5.1 算术级数443

5.2 几何级数444

6 数值函数445

6.1 数值函数的概念445

6.2 给定函数的方法446

6.3 两个函数的和、差、积与商448

6.4 复合函数449

6.5 偶函数和奇函数449

6.6 周期函数451

6.7 有界函数453

6.8 单调函数453

6.9 反函数455

7 函数的极限457

7.1 函数极限的概念457

7.2 关于函数极限的定理461

7.3 函数极限存在的充分必要条件463

7.4 几个重要极限463

8 无穷小量464

8.1 无穷小量的概念464

8.2 无穷小量的比较465

9 函数的连续性466

9.1 函数连续性的概念466

9.2 关于连续函数的基本定理467

9.3 初等函数的连续性468

第九章 微积分初步470

1 导数470

1.1 导数的概念470

1.2 函数图象上的切线方程471

1.3 导数的物理意义471

1.4 关于导数的定理472

1.5 初等函数导数的计算473

1.6 高阶导数477

2 原函数和不定积分478

2.1 原函数和不定积分的概念478

2.2 不定积分的简单性质和积分法480

3 定积分485

3.1 平面图形的面积计算问题485

3.2 定积分487

3.3 定积分的性质488

3.4 作为上限的函数的定积分489

3.5 积分运算的基本公式490

4.1 多元函数的概念491

4 微分方程491

4.2 常微分方程的概念492

4.3 一阶微分方程494

4.4 二阶微分方程497

第十章 初等函数501

1 函数的研究501

1.1 常量函数501

1.2 函数单调性条件501

1.3 函数的极大值和极小值502

1.4 函数的最大值和最小值505

1.5 曲线的凹向507

2 函数图象的作法509

3 函数图象的简单变换511

4 线性函数515

5 反比例517

6 分式线性函数518

7 二次函数520

8 幂函数523

9 指数函数524

10 对数函数525

常用公式表528

计数制538

基本符号表544