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前言1

数学--无声的音乐 无色的图画1

第一章 几何学中的经典音乐13

第一节 180°定理演义15

1 不计图形长短曲直 数字“1”统帅全局15

2 休管立体万种风情 数字“2”展示共性18

3 多边形外角常为2π 多面体亏量总是4π19

4 正多面体好奇怪 原来只有五种形态21

习题1.122

第二节 宇宙间头等重要定理外星人无需动用翻译23

1 毕氏定理在初等数学中的作用24

2 毕氏定理之严格论证29

习题1.232

第三节 矩形面积是长宽之积 难道还有什么问题32

习题1.337

第四节 圆周率考验人类智力 π的精确数字上亿38

1 圆的性质优美无比 认识清楚并不容易39

2 四千多年前π的有效数字公有1 本世纪未达到六十亿41

3 对π的理性认识42

4 为什么要把π计算到几十亿位43

习题*1.445

第五节 黄金兔子不相及 数量之间有联系45

1 黄金比的美学价值45

2 黄金比的数值计算46

3 黄金比与正五边形48

4 黄金比与兔子数列50

习题1.552

第六节 高斯墓碑上的正十七边形回答了三等分角不可能问题52

第七章 被人遗忘的九点圆定理 丢掉了小明珠实在可惜58

习题1.658

1 九点圆59

2 八点圆60

3 四心共线61

习题1.763

第八节 四面体留下千年难题 割补术无法求其体积63

1 千年难题--体积问题64

2 四面体诸元素互相牵制66

3 特殊四面体与特殊三角形68

习题1.874

第九节 自由向量妙用无穷 中学教材弃之不用75

1 向量运算与基本几何定理的统一性75

2 朴素思想解困难问题78

3 向量与三角形83

习题1.987

第十节 圆锥面与平面留下截痕 奉献出一套完美图形88

1 圆锥面上的截痕88

2 个性寓于共性之中90

3 圆锥曲线的统一方程93

习题1.1095

第十一节 阿基米德称出圆球体积 祖氏父子创立祖暅原理95

习题1.11101

第二章 数之演进103

第一节 自然数充满奥秘 人类智慧力所不及105

习题2.1108

第二节 自然数公理令人烦恼 数学根基岂能动摇108

习题2.2112

第三节 一群幽灵在自然数王国游荡 古今学者留下迷人的猜想112

习题2.3117

第四节 古往今来论整除 千变万化用同余118

习题2.4128

第五节 密钥公开难破译 因数分解显神奇128

1 新颖设想 密钥公开129

2 一场竞赛 打破神话132

3 先进的网络 古老的算法134

习题2.5135

第六节 十进制独占统治地位 二进制方显身价百倍135

1 美国有人出主意 全球通用英国制136

2 二进制优越真不少 最大用处在电脑138

3 模2加法最容易 闲来无事做游戏141

习题2.6144

第七节 无理数并非无理 原来是翻译出了问题145

1 有理数可以数个数 无理数不能排次序146

2 实数跟着小数跑 小数也是找不到家149

3 实数难为数学家 有理数中讨说法150

4 实数论有丰富内涵 哥德尔创世纪成就153

习题2.7155

1 虚数圆宇宙之梦 复数集数之大成156

第八节 虚数虚无缥缈 复数必不可少156

2 复数应用广泛 性质朴素简单159

习题2.8162

第九节 三百年前费马留下最后定理 世纪末怀尔斯一举成名163

第十节 哥德巴赫猜想极具魅力 陈景润未竟事业留给新世纪166

第三章 符号化与代数的逻辑171

第一节 算术是代数的前驱 代数是算术的符号化173

1 数系通性乃是代数灵魂 运算法则要合数系通性173

2 算术是智者的游戏 代数是懒人的算术178

3 余式定理强有力 求解方程不能离181

习题3.1186

第二节 因式分解难题多 理性认识学问深186

1 不可约多项式与系数的取值范围187

2 唯一性的论证188

3 存在性与可行性189

4 有理多项式因式分解的特殊性190

习题3.2192

第三节 四百年前一场数学竞赛 三次四次方程终于获解193

第四节 增根增添麻烦 验根手续简单198

习题3.3198

习题3.4203

第五节 一条以“中国”命名的定理 记载了中国数学的光辉业绩204

1 中国剩余定理204

2 中国剩余定理与多项式207

3 中国剩余定理的应用209

习题3.5214

第四章 此数函彼数 谓之函数215

第一节 函数概念不断演进 内涵终为变量对应217

习题4.1221

第二节 初等函数各有定义 特征性质演绎反问题222

1 正比例函数的反问题223

2 函数f(x)=ax+b/cx-a229

3 幂函数的特征232

4 指数函数与对数函数的个性233

5 正弦和余弦函数的公理237

6 数论函数240

习题4.2245

第三节 变分方法好奥妙 证明技术真高超246

习题4.3251

第四节 凸函数朴素简单 不等式何其困难252

1 凸函数两边低中间高 不等式中间大两头小252

2 哥西发现两个不等式 他把一半功劳分给了希瓦茨257

3 先来后到有次序 排队可获最大值260

习题4.4263

第五节 调和级数怪事多 追根溯源没有和263

习题4.5268

第五章 组合数学点滴269

第一节 神龟图开创组合数学 巧安排竞显古人智慧271

1 “洛书”演变出幻方 杨辉巧手解“易经”273

2 组合数垄断组合公式 该公式演绎组合性质275

3 事物奇偶有别 数学难题获解279

4 情况不胜枚举 列举不厌其烦282

习题5.1284

第二节 《红楼梦》里有抽屉原理 朴素方法解万种难题285

习题*5.2292

第三节 母函数是形式级数 收敛性可不必深究293

1 难以回答的简单问题293

2 母函数与数列的血缘关系294

3 母函数为数列生产通项公式298

习题5.3303

第六章 数学思想与数学方法漫话305

第一节 归纳法通向真理 不严谨陷入谬误307

1 归纳出真理307

2 用归纳法也有犯错误的时候314

3 “一、二、三、四、五，上山打老虎”--数学归纳法的威力317

习题6.1323

第二节 数学家以我为主 求全胜竞弃全局323

习题6.2328

第三节 平行公理引爆革命 理性思维开创先例329

习题6.3333

第四节 老罗素造集合之反例 好悖论是倒置的真理334

1 中国小商贩不能自圆其说 西洋理发师无奈不知所措334

2 初等数学多悖论 严谨逻辑是命根338

习题6.4343

第五节 集合是迟到的主角 它左右着当今数学344

习题6.5349

习题参考答案351