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目录3

前言3

第一部分 代数3

第一章 数系3

一、自然数理论10

1．基数理论11

2．序数理论12

二、有理数域15

三、实数集21

1．无理数的引入22

2．实数集及其性质28

3．代数数与超越数33

附录：希尔伯特数学问题39

第二章 方程与方程组43

一、等式与方程52

二、同解方程与同解原理56

三、方程的近似解法61

1．累试法61

2．弦位法62

四、扩充域与不动点原理简介64

1．关于代数方程解的充要条件的认识64

2．不动点原理的认识67

第三章 函数与映射76

一、函数与映射81

二、反函数及其性质88

三、复合函数95

四、函数方程简介102

1．函数方程的概念103

2．函数方程的解法105

3．关于函数的公理化定义108

第四章 不等式112

一、不等式的概念与性质113

1．基本概念与基本原理113

2．不等式的基本性质115

3．绝对值不等式的几个重要性质116

二、不等式的解法117

2．一元二次不等式的解法118

1．一元一次不等式与一元一次不等式组的解法118

3．一元高次不等式的解法119

4．分式不等式的解法123

5．无理不等式的解法124

6．绝对值不等式的解法126

7．一些简单的超越不等式的解法127

三、经典不等式128

1．有关平均数的不等式128

2．柯西不等式137

3．霍尔德不等式与闵科夫斯基不等式139

四、不等式的证明140

1．不等式的基本证明方法141

2．放缩法与数学归纳法146

3．微分法149

五、不等式的应用150

第五章 数列156

一、数列的一般知识158

1．数列的表示法159

3．数列的通项问题与前n项和问题164

2．数列的基本性质164

二、等差数列与等比数列167

1．等差数列的定义和性质167

2．等比数列的定义和性质174

3．等差数列与等比数列的两套公式及其运用180

三、数列求和问题187

1．两类基本的求和问题188

2．混合数列的求和195

3．自然数的方幂和及其应用196

四、等比差数列、高阶等差数列与循环数列201

1．等比差数列201

2．高阶等差数列203

3．循环数列209

第六章 复数211

一、复数集214

1．复数集内的元素214

2．共轭复数221

3．复数的三角形式230

4．复数集上的一元n次方程和复数的n次方根239

二、复数与几何255

1．复数集、复平面、向量集255

2．方程的曲线与函数的图象265

3．复数运算的几何意义275

第七章 排列、组合、二项式定理、概率初步286

一、排列、组合287

1．解排列、组合问题的八种基本思维方法288

2．具有较多限制条件的排列、组合问题举例304

3．其他类型的排列、组合问题选讲313

二、二项式定理326

1．二项式定理与组合数性质326

2．杨辉三角与组合数性质342

三、概率初步346

1．事件与概率346

2．概率计算的例题选讲348

第八章 平面三角363

第二部分 三角363

一、三角函数与反三角函数364

1．三角函数的定义365

2．三角函数的图象和性质373

3．反三角函数390

4．三角函数值的反演395

二、三角公式与三角变换397

1．三角公式398

2．三角函数的求值418

3．三角函数式的化简与证明428

4．三角方程的求解439

三、三角与几何452

1．解三角形的基本理论452

2．解三角形的基本类型466

3．应用举例472

4．用三角方法解决几何问题481

第三部分 初等几何495

第九章 平面几何495

一、平面几何研究的问题495

二、当前平面几何的研究方向522

一、立体几何需要的基本能力524

第十章 立体几何524

二、研究立体几何的内容、方法及解题规律的三个专题543

1．异面直线的成角和距离543

2．对称原则558

3．关于四面体的基本结果561

第四部分 平面解析几何578

第十一章 解析几何578

1．坐标系581

一、坐标系中的基本问题和坐标方法581

2．坐标法在中学数学中的应用591

二、曲线与方程602

1．曲线与方程的概念602

2．轨迹方程608

3．用待定系数法求曲线的方程620

三、直线和圆锥曲线624

1．直线624

2．圆锥曲线636

四、坐标变换662

1．坐标轴的平移667

2．坐标轴的旋转670

3．一般二次方程的讨论和化简673

五、参数方程、极坐标678

1．参数方程678

2．极坐标697

1．曲线系方程725

六、解析几何中的几个专题725

2．平面区域和二元不等式740

3．最大（小）值问题755

4．定值问题765

第五部分 非欧几何769

第十二章 非欧几何简介769

一、非欧几何简介769

二、关于“模型”的认识775

三、罗巴切夫斯基几何简介777

四、关于黎曼几何784