《微分流形与黎曼几何》求取 ⇩

第一章预备知识1

1.1 模与代数的概念1

1.2 多重线性映射4

1.3 n维数空间Rn7

1.4 多元函数的微分10

1.5 映射的可微性16

1.6 Rn中的逆映射定理及秩定理20

1.7 拓扑空间23

习题一33

第二章微分流形36

2.1 微分流形的基本概念36

2.2 切空间与切映射54

2.3 上切空间与拉回映射69

2.4 子流形75

2.5 切丛和切向量场88

2.6 上切丛和余切向量场101

习题二108

第三章张量场与外微分110

3.1 张量空间Tp＊（M）？Tq＊（N）110

3.2 流形Mn上p点的（r,s）型张量空间T？（M）p113

3.3 对称和反对称协变张量121

3.4 流形M上的张量场133

3.5 流形M上的s阶外微分形式144

3.6 外微分算子d155

习题三161

第四章外形式的积分和Stokes定理163

4.1 流形Mn上的单位分解163

4.2 n维C∞流形M的定向与带边流形的定向167

4.3 流形Mn上n形式ω的积分171

习题四179

第五章线性联络与绝对微分181

5.1 线性联络的定义及例子181

5.2 线性联络的存在性及诱导联络184

5.3 线性联络的挠率张量场和曲率张量场188

5.4 线性联络？的结构方程193

5.5 （r,s）型张量场T的协变微商？xT196

5.6 （r,s）型张量场T的绝对微分DT200

5.7 协变微商与绝对微分的内在关系203

5.8 平行移动与测地线208

5.9 结构方程的另一引进法212

习题五214

第六章黎曼流形215

6.1 Riemann度量g215

6.2 Riemann联络223

6.3 Riemann曲率张量场R227

6.4 Riemann流形的结构方程231

6.5 Riemann流形（M,g）上函数f的LapLacian△f234

6.6 Riemann流形（M,g）的截面曲率237

6.7 Riemann流形（M,g）的Ricci曲率和数量曲率244

习题六249

第七章子流形251

7.1 诱导联络和第二基本形式251

7.2 Gauss方程Codazzi方程和Ricci方程257

7.3 活动标架法264

7.4 欧氏空间中子流形的运动方程271

7.5 全脐子流形与具有平行平均曲率向量的子流形280

习题七292

第八章极小子流形294

8.1 欧氏空间Rn＋p中的极小子流形294

8.2 球空间Sn＋p（1）中的极小子流形299

8.3 球面内极小子流形的外在刚性304

8.4 球面内极小子流形的内在刚性306

习题八315

第九章等参超曲面318

9.1 引言318

9.2 Rn＋1中的平行超曲面319

9.3 水平超曲面的几何323

9.4 复双曲空间CHn中的等参超曲面327

习题九335