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第一章 数学模型和概率运算1

1-1 数学模型1

1-2 随机事件的统计规律性2

随机事件，随机实验，频率，频数2

1-3 概率的定义3

古典定义（3）；统计定义4

1-4 概率的性质和运算定则4

必然事件，不可能事件，事件和，事件积，互斥事件，逆事件（4）；概率加法定则，条件频率，条件概率，概率乘法定则（6）；互独立事件7

1-5 全概公式与贝叶斯公式8

验前概率，验后概率9

第二章 随机变量及概率分布10

2-1 引言10

随机变量，概率分布，累布函数，分布函数10

2-2 离散型分布11

离散型随机变量，离散型分布，分布列（11）；概率分布图12

2-3 连续型分布13

连续型随机变量，密度函数，概率元素（13）；正态分布15

2-4 二维随机变量及其联合分布15

二维分布，联合累布函数（15）；边缘分布，条件分布（17）；两变量互独立，（18）；多维分布19

2-5 均值19

数学期望（19）；位置特征，中位值，众值，均值的若干重要性质（20）；均值加法定则，均值乘法定则21

2-6 矩、方差、偏度和峰度22

原点矩，中心矩（22）；分散度，方差，分散特征，标准差，均方差，中误差，方差重要性质（23）；标准化，方差加法定则（24）；偏度，偏态系数，峰度，峰态系数25

2-7 生矩函数26

生矩函数（26）；随机变量函数的生矩函数，生矩函数的若干性质（27）；正态分布的生矩函数（28）；多维分布的生矩函数29

2-8 分布的变换30

分布变换公式，二维分布的变换公式31

2-9 二项分布32

独立实验（32）；二项分布，贝努里分布（33）；二点分布，一点分布34

2-10 均匀分布34

2-11 正态分布35

标准正态分布（35）；标准正态分布的生矩函数（39）；正态分布可加性定理40

2-12 截尾正态分布41

2-13 x2分布43

自由度，生矩函数（46）；x2分布可加性定理，与x2变量有关的分布（47）；x分布49

2-14 二维随机变量的矩和相关系数49

二维分布原点矩（49）；二维分布中心矩，协方差，相关矩相关系数50

2-15 二维正态分布52

二维正态分布密度函数（53）；等密度椭圆54

2-16 随机向量的均值、方差和协方差55

方差－协方差阵，自协方差阵，互协方差阵（56）；协方差阵（57）；方差－协方差传播定律，广义误差传播定律59

2-17 n维正态分布60

第三章 大数定律和极限分布63

3-1 切贝雪夫不等式63

3-2 贝努里大数定律64

3-3 切贝雪夫大数定律和辛钦大数定律65

3-4 二项分布的极限分布66

德莫佛定理（66）；标准化二项分布生矩函数67

3-5 x2分布的极限分布68

3-6 中心极限定理70

林德伯－勒维定理，李亚普诺夫定理，林德伯－费勒定理72

第四章 统计方法和抽样分布73

4-1 随机抽样73

母体，总体，子样，子样容量，子样元素，随机抽样，子样值73

观测值，统计量74

4-2 统计方法概述74

真值（74）；小概率事件原理75

4-3 子样的分布和特征值75

经验分布（75）；统计影象，子样特征值，子样均值，子样方差，子样矩（76）；子样极差（77）；子样相关系数78

4-4 抽样分布的均值和方差78

子样函数，抽样分布（78）；无偏子样方差，子样方差的方差79

4-5 抽样分布的渐近正态性81

精确分布81

第五章 参数估计83

5-1 良好估计量的性质83

估计量，估值，子样中位值，一致性（83）；无偏性，渐近无偏，有效性，最小方差（84）；有效估计量，联合有效估计量85

5-2 矩法87

5-3 最大或然法88

最大或然法，极大似然法，或然函数，最或然估计量，或然方程88

5-4 直接观测的参数估计89

同精度直接观测（89）；不同精度直接观测91

5-5 罗－克拉美不等式94

史瓦茨不等式（94）；罗－克拉美不等式95

5-6 最或然估计量的性质96

5-7 置信区间的概念100

区间估计，点估计，置信区间，置信限，置信度，信度101

第六章 直接观测中误差的估计103

6-1 等权直接观测方差分布定理103

费歇定理（103）；等权直接观测方差分布定理（104）；子样方差的中误差（106）；s-2分布的密度函数，-s2分位值107

6-2 异权直接观测方差分布定理108

异权直接观测方差分布定理108

6-3 直接观测单位权中误差及其中误差111

-s的密度函数-s分位值（112）；直接观测无偏中误差，-s的中误差，中误差之中误差114

6-4 用平均误差估计直接观测中误差的方法116

平均误差（116）；平均误差的估计量117

6-5 用极差估计直接观测中误差的方法117

子样极差（117）；极差的概率分布（118）；极差的均值119

6-6 直接观测方差的综合估计123

6-7 估计中误差的均方连差法125

连差，均方连差，均方连差估计法（125）；用均方连差法估计母体方差126

第七章 测量平差模型的参数估计127

7-1 最小二乘估计127

测量平差的函数模型，随机模型，平差值，最或然值，残差，最小二乘法原则（128）；相关最小二乘法原则（129）；参数具有约束的最小二乘估计公式130

7-2 最优线性无偏估计130

高斯－马尔柯夫模型，最优线性无偏估计法，无偏条件（130）；线性最小方差估计法，具有约束的高斯－马尔柯夫模型（131）；具有约束的高斯－马尔柯夫线性模型的最优无偏估计公式133

7-3 具有随机参数的平差模型的参数估计133

随机参数的先验均值和方差（133）；具有随机参数的平差模型及其最优线性无偏估计（135）；具有观测值l和虚拟观测ξx的非随机参数高斯－马尔柯夫模型135

7-4 间接观测方差分布定理136

间接观测方差分布定理，残差与真误差的基本关系式（136）；矩阵的秩，谱矩阵（137）；幂等阵138

7-5 单位权方差的无偏估计139

？2的方差和中误差公式140

s-2的方差和中误差公式，σ2的无偏估计量（141）；单位权方差的综合估计，具有随机参数的平差模型的单位权方差估计公式142

7-6 权143

定权公式，矩阵的迹（143）；定权正确与否对最小二乘平差结果性质的影响（144）；定权对单位权方差估计量无偏性的影响145

7-7 权的统计估计146

先验方差估计，验后方差估计，权的估计，验前方差估计146

第八章 假设检验原理和方法150

8-1 引言150

原假设，统计假设（150）；备选假设，单假设，复假设151

8-2 弃真和纳伪的概率151

拒绝域，接受域，第一类错误，弃真H0错误，显著水平，第二类错误，纳伪H0错误（152）；检验的功效，选择拒绝域的原则，选定显著水平153

8-3 子样容量变化的影响154

8-4 双尾和单尾检验法154

双尾检验法，单尾检验155

8-5 功效函数156

功效函数，功效函数的曲线表示156

8-6 u检验法159

u检验法，分位值（159）；双尾检验，右尾检验、左尾检验的拒绝域（160）；三角测量角度观测系统误差是否显著的检验（161）；两正态母体的均值是否相同的检验（162）；双尾检验的功效函数（163）；单尾检验的功效函数（165）；置信区间和双尾检验的关系166

8-7 t分布167

t分布，学生氏分布，左尾a分位值，右尾a分位值（170）；矩，均值和方差171

8-8 t检验法173

t检验法（174）；一个三角形闭合差是否有系统误差的检验（175）；检验两个正态母体的均值是否相等（176）；直接观测均值的置信区间，算术平均值的极限误差179

8-9 符号检验法181

非参数检验法，正态变量代替二项变量的问题183

8-10 均方连差检验法185

8-11　x2检验法186

用于方差的x2检验法（186）；σ2的1-a置信区间，σ的1一a置信区间189

8-12 F分布190

8-13 F检验法194

方差比194

第九章 测量平差模型的假设检验199

9-1 平差参数的置信区间和假设检验199

平差值∧X的置信区间（199）；平差值与其理论值偏差的检验（201）；两个平差值差数的检验203

9-2 单位权方差的置信区间和假设检验203

验前与验后单位权方差的一致性检验（204）；两正态母体的方差是否相同检验示例207

9-3 平差参数向量的假设检验207

平差值向量与其理论值向量偏差的检验（208）；两个独立平差值向量之差的检验（209）；平均间隙法210

9-4 参数的线性假设检验211

线性假设检验（211）；线性假设检验在复测网中的应用212

9-5 测量粗差的假设检验214

莱特准则（214）；肖维纳准则，格拉勃斯准则（215）；巴特粗差检验理论（216）；发现粗差的概率（220）；可控性量度，可靠性，内可靠性221

第十章 分整分析222

10-1 一元方差分析222

一元方差分析（222）；数学模型，组内母体，偶然中误差，内部符合中误差，组间母体，系统中误差，常数误差（223）；组内母体均值同一性的检验，离差，离差平方和，差方和（224）；总差方和，组内差方和，组间差方和（225）；子样总方差，子样组内方差，子样组间方差，平方和分解公式（226）；平均差方和227

10-2 偶然中误差和系统中误差的估计230

10-3 组间母体均值的估计和检验233

10-4 方差分析中的x2分布分解定理235

10-5 多组观测中方差同一性的检验237

巴特莱检验法237

10-6 水平角观测的系统中误差和偶然中误差239

10-7 二元方差分析245

数学模型（245）；总差方和，行间差方和，列间差方和，误差平方和，（247）；偶然中误差和系统中误差的估计，子样总方差（248）；总平均值的中误差估计（251）；多架仪器多条测线重力测量数据方差分析252

第十一章 正态性的检验256

11-1 子样特征值的计算及正态曲线之拟合256

组距，组频数（256）；谢波德改正258

11-2 直方图259

11-3 累频图266

经验累布函数，累积频数线，累频线，累频图（266）；理论累布曲线267

11-4 分位图268

概率格网纸，正态概率纸，概率纸271

11-5 拟合度x2检验法271

拟合的优度，拟合度，拟合度x2检验法（271）；拟合度x2检验定理272

11-6 偏度、峰度检验法274

11-7 柯斯二氏检验法277

临界值278

11-8 子样混合定理280

混合子样，混合母体280

第十二章 回归分析283

12-1 引言283

确定性关系，函数相关，相关关系，统计相关，回归分析，相关分析283

12-2 线性回归模型283

剩余误差，线性回归的函数模型，回归系数（283）；线性回归的理论模型线性回归方程，预报值284

12-3 一元线性回归284

一元线性回归，直线回归（284）；求∧a和∧b的公式（235）；子样协方差（287）；子样相关系数，正相关，负相关（288）；方差分析法（290）；回归差方和，误差差方和，一元回归分析的线性假设显著性检验，预测和控制，预测区间（292）；一元线性回归示例295

12-4 多元线性回归298

多元线性回归的回归系数及中误差的区间估计，方差分析法，复相关系数法（302）；复相关系数303

因子剔除，回归方差分布定理304

12-5 加权多元线性回归305

12-6 非线性回归306

广义线性模型，相关指数308

12-7 测距仪测距精度的回归分析308

12-8 相关数据的线性回归309

相关数据直线回归（310）；相关数据超平面回归311

第十三章 最小二乘拟合312

13-1 多项式拟合曲面312

13-2 三角多项式拟合曲线315

13-3 曲线分段拟合321

样条函数法（321）；约束条件322

13-4 拟合参数的序贯估计324

序贯估计，在线估计（324）；增益矩阵（326）；增长记忆递推，滤波饱和，限定记忆递推（327）；预报误差（328）；限定记忆的递推公式329

13-5 增加参数个数的递推估计329

13-6 最小二乘拟合推估331

系统成分，信号，随机误差（331）；拟合推估的最小二乘原则332

13-7 最小二乘拟合推估在卫星测量中的应用334

13-8 卡尔曼滤波336

滤波，卡尔曼滤波，状态方程，观测方程，状态估计（336）；卡尔曼滤波方程338

附录Ⅰ Gamma函数及有关的公式339

附录Ⅱ 正交变换343

附录Ⅲ 矩阵代数有关知识345

附表Ⅰ（a） 标准正态密度函数355

附表Ⅰ（b） 标准正态累积分布函数356

附表Ⅱ x2分布357

附表Ⅲ t分布358

附表Ⅳ F分布359

附表Ⅴ 符号检验法显著水平363

附表Ⅵ 极差W右尾分位值364

附表Ⅶ 标准正态分布分位值365

附表Ⅷ 柯斯二氏检验法的临界值367

附表Ⅸ 相关系数检验法的临界值368

参考文献369