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第一章比2

可通约量与不可通约量2

优比与劣比3

a/b＝c/d＝e/f＝…＝（pan＋qcn＋ren＋……/pbn＋qdn＋rfn＋……）1/n4

A.＋A.＋a3＋……＋an/b1＋b2＋b3＋……＋bn之值在a1/b1，-.An/bn诸分数中最大者与最小者之问6

十字乘法8

三个一次方程式之消去式9

习题一10

第二章比例13

定义及命题13

代数的定义与几何的定义之比较16

不可通约数之例17

习题二19

第三章变数法21

若A∞B，则A＝mB21

反变法22

合变法23

若C不变时A∞B，及B不变时A∞C，则A ＝mBC23

示例.合变法之例24

习题三26

第四章等差级数28

等差级数之n项之和28

基本公式29

等差中项插入法31

习题四.A31

an2＋（2a-d）n-2s＝0之根之研究33

习题四.B.35

第五章等比级数38

等比中项插入法38

等比级数之n项之和39

无穷等比级数之和40

习题五.A41

化循环小数之法则之证明43

等差的等比级数之n项和44

习题五B45

第六章调和级数.与前诸级数有关之定理47

H.P.中诸数之倒数成A.P47

调和中项48

A.M.，G.M.，H.M.之相关公式49

级数问题解法之提示49

自然数之平方和50

自然数之立方和51

符号Σ52

习题六.A52

正方底角锥体之弹积之弹数54

正三角形底角锥体弹积之弹数54

矩形底角锥体之弹积之弹数54

不完全角锥体之弹积之弹数55

习题六.B56

第七章纪数法57

各种纪数法之说明57

习题七.A59

用指定进法表一整数59

用指定进法表一进率分数61

凡数与其数字和之差可为r-1除尽之62

弃九法之证明63

可否为r＋1除尽之核验法64

习题七.B65

第八章根数及虚数67

a/？b＋？c＋？d之分母之有理化67

p？a±q？b之有理化因子68

a＋？b＋？c＋？d之平方根69

a＋？b之立方根70

习题八.A72

虚数74

？-a×？-b＝-？ab75

若a＋ib＝0，则a＝0，b＝075

若a＋ib＝c＋ib，则a＝c，b＝d75

积之虚数率等于各因数之虚数率之积77

a＋ib之平方根77

i之方冪79

l之立方根；l＋ω＋ω2＝079

ω之方冪80

习题八.B81

第九章二次方程式论83

一个二次方程式之根不能多于两个83

实根，等根，虚根之条件84

两根之和＝-b/a，两根之积＝c/d85

已知其根作方程式86

二次方程式之根（1）大小等而符号异，（2）互为倒数之条件88

习题九.A88

x为实数值时，ax2＋bx＋c之值通常与a同号；例外90

习题九.B92

函数，变数，及有理整函数之定义93

ax2＋2hxy＋by2＋2gx＋2fy＋c可析为两个一次因子式之条件94

ax2＋bx＋c＝0及a′x2＋b′x＋c′＝0能有一公根之条件95

习题九.C96

第十章杂方程式97

含一个未知数之方程式97

倒数方程式100

习题十.A101

含两个未知数之方程式103

齐次方程式104

习题十.B106

含多个未知数之方程式107

习题十.C109

不定方程式；简易数字例题111

习题十.D113

第十一章排列及组合115

基本命题115

n物r元之排列数115

n物r元之组合数117

n物r元之组合数等于n物n-r元之组合数119

将m＋n＋p＋……物分为各含m，n，p，……物等组之分法之数120

习题十一.A122

‘相同’及‘不相同，之解释124

当n物中p物为第一类，q物为第二类，每次全取之排列之数125

各物可重复时之n物之r元排列之数126

n物之组合之总数127

r为任何值时nCr之值最大127

n物r元组合数之公式之自内证明128

p＋q＋r＋……物之组合总数，此中p物为一类，q物为第二类129

习题十一.B131

第十二章数学归纳法133

证法之例133

n个x＋a形式之二项因式之积134

习题十二135

第十三章二项式定理.指数为正整数者137

当n为正整数时，（x＋a）n之展开式137

展开式之通项139

展开式可使归于首项为1之情形140

二项式定理之又一证明141

习题十三.A142

与首尾等远之二项之系数相等143

最大项之决定143

系数之和146

诸奇数项系数之和等于诸偶数项系数之和146

多项式之展开式146

习题十三.B147

第十四章二项式定理.指数为任意数者150

二项式定理适用任意指数之尤勒氏之证明150

（1＋x）n之展开式之通项153

习题十四.A155

（1＋x）n之展开式仅当x＜1时有算术的意义155

（x＋y）n之式恒可用二项式定理展开之157

（1-x）-n之展开式之通项157

（1-x）-n之展开式之特例158

用二项式定理求得之近似值159

习题十四.B161

（1＋x）n之展开式中绝对值最大之项162

由n个字母所成r次齐次积之数164

多项式展开式中之项数165

准予重复时n物之r元组合之数166

习题十四.C167

第十五章多项式定理170

当p为正整数时，（a＋bx＋cx2＋dx3＋……）p之展开式之通项170

当n为有理数时，（a＋bx＋cx2＋dx3＋……） n之展开式之通项171

习题十五173

第十六章对数175

定义N ＝alogaN175

基本命题176

习题十六.A178

常用对数179

用视察法定首数180

常用对数之优点181

恒令尾数为正之便利182

已知一切数以a为底之对数，求以b为底之对数183

bogab × logb a＝1183

习题十六.B185

第十七章指数级数及对数级数187

ax之展开式，e之级数187

e为（1＋1/n）n当n为无限大时之极限188

loge （1＋x）之展开式191

对数表之作法192

loge （n＋1）-l0G.en之迅歛级数194

e为不可通约量195

习题十七195

第十八章利息及年金198

已知金额，按照单利计算之利息及本利和198

B知金额，按照单利计算之折扣与现值198

已知金额，按照复利计算之利息及本利和199

名义上之年利率及真实年利率200

瞬息计息之复利息之例200

已知金额，按照复利计算之现值及贴现201

习题十八.A202

年金.定义202

停付年金之本利和，单利203

停付年金之本利和，复利203

年金之现值，复利204

购买年限204

延期支付年金之现值，复利205

续约金206

习题十八.B206

第十九章不等式208

基本命题208

二正数之等差中项大于其等比中项209

若三数之和为已定，则二数相等时其积最大；若二数之积为已定则二数相等时其和最小210

诸正数之等差中项大于其等比中项211

已知a ，b，c，……之和，求am bncp之最大值212

极大与极小之简易情形212

习题十九.A213

除m之值在0与1问外诸正数之m次冪之等差中项大于其等差中项之m次冪214

若a及b为正整数，且a＞b，则（1＋x/a）a＞（1＋x/b）b216

若1＞x＞y＞0，则x？1＋x/1-x＞y？1＋y/1-y217

aabb＞（a＋b/2）a＋b217

习题十九.B218

第二十章极限值及消失分数220

极限之定义220

a0＋c1x＋a2x2＋a3x3＋……当x＝0时之极限为a0222

令x为充分之小，能使级数a0 ＋ a1x＋a2x2＋……之任一项与其后诸项之比为任意之大；又令x为充分之大，能使其任一项与其前诸项和之比为任意之大222

决定消失分数之极限224

联立方程式之解之特例226

二次方程式之解之特例227

习题二十228

第二十一章级数之收歛及发散230

正负项相间之情形230

若Limn→∞un/un-1＜1，则此级数为收歛级数232

∑nn与助级数∑n之比较234

助级数1/1p＋1/2p＋1/3＋235

对于二项式之展开式，指数级数，对数级数之收歛性之验定237

当n为无限大时，logn/n及nxn之极限238

无穷个因子之积238

习题二十一.A241

若un/un-1＞rn/rn-1，则当v级数为收歛级数时，u级数亦为收歛级数243

若Lim｛n（un/un-1-1）｝＞1，则此级数为收歛级数244

若Lim（nlogun/un-1-1）＞1，则此级数为收歛级数245

级数Σφ（n）与级数Σanφ（n）之比较247

助级数Σ 1/n（logn）p248

若Lim〔｛n（un/un＋1-1）-1｝logn〕＞1，则此级数为收歛级数248

两无穷级数之积249

习题二十一.B252

第二十二章未定系数254

方程式f（x）＝0若有n个以上之根，则此方程式为恒等式254

未定系数原理用于有限级数之证明254

习题二十二.A256

未定系数原理用于无穷级数之证明257

习题二十二.B260

第二十三章部分分数261

将有理分数析为部分分数261

部分分数对于展开有理分数之应用265

习题二十三265

第二十四章循环级数267

关系式267

循环级数之和269

母函数269

习题二十四272

第二十五章连分数273

将分数化为连分数273

各次近值交迭的大于及小于其连分数275

各次近值之构成律275

pnqn-1-pn-1qn＝（-1）n276

题二十五.A277

诸近值渐近于其连分数278

以任何近值代连分数时所生之误差之极限279

近值较分母为小之分数近于其连分数280

pp′/qq′＞或＜x2，视p/q之＞或＜p′/q′281

习题二十五.B281

第二十六章一次不定方程式284

ax-by＝c之解法284

已知一解，求通解286

ax＋by＝c之解法286

已知一解，求通解287

ax ＋by＝c之解之个数287

ax＋by＋ cz＝d，a′x＋b′ y＋c′x＝d′之解法289

习题二十六290

第二十七章循环辗转分数292

数字例题292

一周期连分数等于二次根式293

习题二十七.A294

将二次根数化为连分数295

商循环296

周期止于部分商2a1297

距首末等远之部分商相等298

周期之倒第二近值299

习题二十七.B301

第二十八章二次不定方程式303

ax2＋2hxy＋by2＋2gx＋2 fy＋c＝0之解法303

方程式x2-Ny2＝1恒可解304

x2-Ny2＝-1之解法305

x2-Ny2＝1之通解306

x2-n2y2＝a之解法308

戴奥蕃探氏（Diophantine）问题309

习题二十八311

第二十九章级数之和312

前论诸法提要312

n个成A.P.之因子之积314

n个成A.P.之因子之积之倒数316

以减求和法318

以若干阶乘数之和表un318

多角数及拟形数319

巴斯加氏（Pascal）三角形320

习题二十九.A321

逐差法322

此法当un为n之有理整函数时始能用之326

若an为n之有理整函数，则级数Σ anxn为循环级数327

循环级数更进一步之情形329

习题二十九.B332

求和各法334

级数1r＋2r＋3r＋…＋nr之和336

柏奥理氏（Bernoulli）数字337

习题二十九.C338

第三十章数论341

原理之叙述341

质数之个数无穷342

无仅能表质数之有理代数式342

一数能析为质因数之方法只有一种342

一已知整数之约数之个数343

将一整数析为二因数之方法之数343

一已知整数约数之和344

？n所含质因数之最高次冪345

r个相邻整数之积可以？r除尽之345

忽马氏（Fermat ）定理Np-1-1＝M（p），此处p为质数而N与p互为质数347

习题三十.A348

同形定义350

若a与b互质，则以b除a ，2a ，3a，……（b-1）a等数时不能得相同馀数350

φ（abcd……）＝ φ（a）φ（b）φ（c）φ（d），352

φ （N） ＝N（1-1/a）（1-1/b）（1-1/c）352

威尔逊氏（Wilson）定理：1＋？p-1＝M（p），此处p为质数354

质数之特性354

威尔逊氏定理之又一证明355

归纳证法356

习题三十.B357

第三十一章连分数通论359

连续各次近值之构成律359

若Limanan＋1/bn＋1＞0，则b1/a1＋b？/a2＋……有定值362

若an≮1＋bn，则b1/a1-b2/a2-之诸近值为递升之正真分数363

当an及bn为常数时近数之通值364

能求得近值之通值之例365

为不可通约数366

习题三十一.A367

将级数化为连分数369

将连分数化为另一连分数371

习题三十一.B372

第三十二章或能率373

定义及例证单纯事件373

习题三十二.A376

复合事件377

两独立事件均发生之或能率为pp’378

此公式亦适用于相关事件379

一事件能在互斥方法中发生之或能率381

习题三十二.B383

一事件在n试验中恰发生r次之或能率385

期望值及或能值386

“计点之问题”388

习题三十二.C389

反或能率391

柏奥理氏定理之说明392

公式Qr＝prpr/∑（pP）之证明392

同时发生事件之证据396

先后相传事件之证据398

习题三十二.D399

局部或能率几何方法401

杂例402

习题三十二.E405

第三十三章行列式409

两个齐次一次方程式之消去式409

三个齐次一次方程式之消去式410

行列互换后行列式之值不变410

二次行列式之展开411

行列式之符号，因其相隣二行或二列之互换而变更412

若二行或二列恒等，则此行列式为零412

一行或一列列之公因子可以提出置于行列式之外412

元含若干项之情形413

化简行或列以化简行列式414

两行列式之积417

习题三十三.A419

对于解联立方程式之应用422

四次行列式423

任何次行列式423

符号Σ a1b2c3d4425

习题三十三B427

第三十四章杂定理及杂例题429

代数学基本定律之复习429

以x-a除f（x）时所得之馀数为fa）432

以x-a除f（x）时之商433

离系数法434

贺氏（Horner）综合除法434

对称函数及交替函数435

恒等式之例题437

常用公式表438

习题三十四.A438

用1之立方根之性质证明恒等式440

a2＋b3＋c3-3abc之一次因式441

an ＋bn＋cn当a＋b＋c＝0时之值442

习题三十四.B442

消去法444

对称函数消去法444

尤勒氏（Euler） 消去法445

雪尔维特氏（S ylvester ）解析法446

贝氏（Bezout）法446

消去法杂例447

习题三十四.C449

第三十五章方程式论452

凡n次方程式均有n个根，且只有n个根452

与系数之关系452

此等关系不足以解方程式454

在已知条件下解方程式454

根之对称函数之节易例题455

习题三十五.A456

虚根及无理根成双出现457

无理根方程式之构造及解法458

笛卡儿氏（Descarles）符号法则459

习题三十五.B460

f （x＋h）之值，导来函数462

用贺式法计算f（x＋h）463

f（x）之值逐渐变动464

若f （a）及f（b）异号，则f（x）＝0有一根在a与b之间464

奇次方程式有一实根465

末项为负之偶次方程式有两实根465

若f（x）＝0有r个根等于a，则f′（x）＝0有r-1个根等于a466

等根鉴定法467

f′（x）/f（x）＝1/x-a＋1/x-b＋1/x-c＋468

根之指定次冪之和468

习题三十五.C470

方程式之变换471

根与f（x）＝0之根异号之方程式471

根为f（x）＝0之根之倍数之方程式472

根为f （x） ＝0之根之倒数之方程式472

倒数方程式之研究473

根为f（x）＝0之根之平方之方程式475

根为f（x）＝0之根加h之方程式475

消去某指定项476

根为f （x） ＝0之根之已知函数之方程式477

习题三十五.D478

三次方程式卡尔登氏（cardan）解法480

解之研究481

不可约例之三角解法482

四次方程式.范劳理氏 （Ferrari）解法483

笛卡儿氏解法484

未定乘数486

判别三次式；均为实根486

三个联立方程式 x/a＋λ＋ y/b＋λ＋ z/c＋λ＝1等之解法487

习题三十五.E488

杂题490

答案525