《数学物理方法 卷Ⅱ》求取 ⇩

第一章 引论2

1. 关于各种解的一般知识2

1. 例2

2. 已给函数族的微分方程6

2. 微分方程组9

1. 微分方程组和单个的微分方程等价的问题9

2. 常系数线性方程组的消去法11

3. 确定的、超定的、欠定的方程组12

3. 特殊微分方程的求积法14

1. 分离变量法14

2. 用叠加法构造更多的解.传热方程的基本解.Poisson积分16

1. 一阶偏微分方程的几何解释17

4. 两上自变量的一阶偏微分方程的几何解释.完全积分17

2. 完全积分18

3. 奇异积分20

4. 例21

5. 一阶线性和拟线性微分方程的理论22

1. 线性微分方程22

2. 拟线性微分方程24

6. Legendre变换25

1. 对于二元函数的Legendre变换25

2. 对于n元函数的Legendre变换27

3. Legendre变换在偏微分方程上的应用27

7. Cauchy和Kowalewsky存在定理30

1. 引言和例30

2. 化为拟线性微分方程组34

3. 初始流形上的导数的确定法36

4. 解析微分方程的解的存在性的证明38

4a. 关于线性微分方程的一件注意事项42

4b. 关于非解析微分方程的一个附注42

5. 关于临界初始数的几点注记.特征43

第一章 附录Ⅰ 关于极小曲面的支持函数的Laplace微分方程44

第一章 附录Ⅱ一阶微分方程和高阶微分方程组45

1. 启发性的话45

2. 两上一阶偏微分方程所成的组和一个二阶微分方程等价的条件46

第二章 一阶偏微分方程的一般理论49

1. 两个自变量的拟性微分方程的几何理论49

1. 特征曲线49

2. 初值问题50

3. 例52

2. n个自变量的拟线性微分方程54

3. 两个自变量的一般微分方程59

1. 特征曲线和焦线.Monge锥59

2. 初值问题的解63

3. 特征作为分枝元素，补充说明.积分劈锥面.焦聚流形65

4. 完全积分66

5. 焦线和Monge方程68

6. 例69

1. 直光线的微分方程，(grad u)2=169

2. 方程F(ux,uy)=072

3. Clairaut微分方程74

4. 管状曲面的微分方程75

5. 齐性关系式76

7. n个自变量的一般微分方程76

8. 完全积分及Hamilton-Jacoli理论81

1. 包络和特征曲线的造法81

2. 特征微分方程的典则形式84

3. Hamilton-Jacobi理论85

4. 例.二体问题86

5. 例.椭球面上的短程线88

9. Hamilton-Jacobi理论及变分法90

1. 典则形式的的Euler微分方程90

2. 短程距离或短时距及其导数.Hamilton-Jacobi偏微分方程92

3. 齐次被积函数94

4. 极值曲线场.Hamilton-Jacobi微分方程96

5. 射线锥面.Huyghens构造法99

6. 对于短时距的表示式的Hilberl不变积分100

7. Hamilton-Jacobi定理101

10. 典则变换和应用102

1. 典则变换102

2. Hamilton-Jacobi定理的新证明103

3. 常数的变易(典则扰动理论)104

第二章附录Ⅰ104

1. 特征流形的进一步讨论104

1. 关于在n维空间中求导的一些注释104

2. 初值问题.特征流形107

2. 具有相同主要部分的拟线性微分方程组.理论的新推演111

3. Haar的唯一性的证明116

第二章附录Ⅱ 守恒定律的理论118

第三章 高阶微分方程123

1. 两个自变量的二阶线性和拟线性微分算子的标准形式123

1. 椭圆型、双曲型、和抛物型的标准形式.混合型123

2. 例128

3. 两个自变量的二阶拟线性微分方程的标准形式131

4. 例.极小曲面134

5. 两个一阶微分方程的方程组135

2. 一般的分类和特征136

1. 记号136

2. 两个自变量的一阶方程组.特征137

3. n个自变量的一阶方程组139

4. 高阶微分方程.双曲性140

5. 补注141

6. 例.Maxwell方程和Dirac方程141

3. 常系数线性微分方程145

1. 二阶方程的分类和标准形145

2. 二阶方程的基本解148

3. 平面波151

4. 平面波(续).前进波.弥散152

5. 例.电报方程、电缆中的无畸变波155

6. 柱面波和球面波156

4. 初值问题.波动方程的辐射问题159

1. 热传导的初值问题.θ函数的变换159

2. 波动方程的初值问题162

3. Duhamel原理.非齐次方程.推迟势163

3a.一阶方程组的Dubamel原理165

4. 二维空间里的波动方程初值问题.降维法165

5. 辐射问题167

6. 传播现象和Huyghens原理168

5. 用Fourier积分解初值问题169

1. Fourier积分的Cauchy方法169

2. 例171

3. Cauchy方法的证明173

6. 数学物理微分方程的典型问题179

1. 引言179

2. 基本原理183

3. 关于 不适定的 问题的注记185

4. 关于线性问题的一般注记186

第三章附录Ⅰ187

1. Sobolev引理187

2. 伴随算子189

1. 矩阵算子189

2. 伴随微分算子190

第三章附录Ⅱ Holmgren的唯一性定理192

第四章 势论及椭圆型微分方程195

1. 基本概念195

1. Laplace方程.Poisson方程及有关方程195

2. 质量分布的势199

3. Green公式和应用205

4. 质量分布的势的导数210

1. 边值问题及Green函数212

2. Poisson积分及其应用212

2. 对于圆和球的Green函数.对于球和半空间的Poisson积分214

3. Poisson公式的一些推论218

3. 平均值定理及其应用224

1. 齐次的及非齐次的平均值方程224

2. 平均值定理的逆定理226

3. 对于空间分布的势的Poisson方程231

4. 其它椭圆型微分方程的平均值定理233

4. 边值问题236

1. 准备知识.对边界值和区域的连续依赖性236

2. 用Schwarz交替法求边值问题的解239

3. 对于具有充分光滑边界的平面域的积分方程法243

4. 关于边界值的注记246

4a.容量的边界值的取得248

5. Perron的下调和函数法249

5. 约化的波动方程.散射254

1. 背景254

2. Sommerfeld的辐射条件256

3. 散射258

6. 更一般的椭圆型微分方程的边值问题.解的唯一性260

1. 线性微分方程260

2. 非线性方程262

3. 关于Monge-Ampère微分方程的Rellich定理263

4. 极大值原理及应用265

7. Schauder的先验估算及其应用269

1. Schauder的估算270

2. 边值问题的解273

3. 强闸函数及其应用278

4. L［u］=f的解的某些性质280

5. 关于椭圆型方程的进一步的结果；在边界上的性态282

8. Beltrami方程的解285

9. 关于一个特殊拟线性方程的边值问题.Leray和Schauder的不动点法291

10. 用积分方程法解椭圆型微分方程295

1. 特解的构造.基本解.参助函数296

2. 附注299

第四章附录 非线性方程300

1. 扰动理论300

2. 方程△u=f(x,u)301

1. 准解析函数的定义306

第四章的补充材料 椭圆型偏微分方程理论的函数论观306

2. 一个积分方程308

3. 相似性原理309

4. 相似性原理的应用312

5. 形式幂314

6. 准解析函数的微分与积分316

7. 例.混合型方程318

8. 准解析函数的一般定义320

9. 拟保形性和一个一般表示定理321

10. 一个非线性边值问题323

11. Riemann映射定理的一个推广326

12. 关于极小曲面的两个定理327

13. 具有解析系数的方程328

14. Privaloff的定理的证明329

15. Schauder不动点定理的证明330

第五章 两个自变量的双曲型微分方程334

引言334

1. 关于主要是二阶的微分方程的特征335

1. 基本概念.拟线性方程335

2. 积分曲面上的特征340

3. 特征线是间断性的曲线.波前.间断性的传播341

4. 一般的二阶微分方程343

5. 高阶微分方程344

6. 特征在点变换下的不变性346

7. 化为一阶拟线性方程组346

1. 线性、半线性、及拟线性方程组347

2. 一阶双曲型方程组的特征标准形式347

2. k=2的情形，用速矢端线变换法达到线性化350

3. 在可压缩流体动力学上的应用351

1. 一维等熵流351

2. 球面对称流353

3. 定常无旋流354

4. 关于非等熵流的三个方程的组355

5. 线性化的方程357

4. 唯一性.依赖区域358

1. 依赖区域、影响区域及决定区域358

2. 对于二阶线性微分方程解的唯一性的证明360

3. 对于一阶线性组的一般唯一性定理364

4. 关于拟线性组的唯一性366

5. 能量不等式367

5. 解的Riemann表示367

1. 初值问题367

2. Riemann函数368

3. Riemann函数的对称性371

4. Riemann函数及由一点发出的辐射.向高阶问题的推广372

5. 例373

6. 用迭代法解线性和半线性双曲型的初值问题377

1. 二阶方程的解的构造377

2. 对于一阶线性及半线性组的记号和结果379

3. 解的构造380

4. 附注.解对参数的依赖性383

5. 混合初值及边值问题384

7. 关于拟线性组的Gauchy问题388

8. 对于单个的高阶双曲型微分方程的Gauchy问题390

1. 化为一阶特征组391

2. L［u］的特征表示392

3. Cauchy问题的解394

4. 其它解法.P.Ungar给出的一个定理395

5. 附注396

9. 解的间断性.激波397

1. 广义解.弱解397

2. 表现守恒定律的拟线性组的间断性，激波399

1. 拟线性微分方程401

1. 关于一般二阶非线性方程的附注401

第五章附录Ⅰ 特征作为坐标的应用401

2. 一般的非线性方程404

2. Monge-Ampère方程的特殊性质405

3. 利用复数域由椭圆型转变为双曲型的情形408

4. 在椭圆型情形中解的解析性409

1. 函数论的注记409

2. △u=f(x,y,u,p,q)的解的解析性410

3. 关于一般微分方程F(x,y,u,p,q,r,s,t)=0的注记413

5. 对于解的延拓使用复数量413

第五章附录Ⅱ 瞬态问题与Heaviside运算微积415

1. 用积分表示解瞬态问题415

1. 显例.波动方程415

2. 问题的一般性提法417

3. Dubamel积分418

4. 实验解叠加法421

2. Heaviside算子法423

1. 最简单的算子423

2. 算子实例及应用425

3. 应用于传热问题429

4. 波动方程431

5. 运算微积的原理所在.其他一些算子的解释432

3. 瞬态问题的一般理论437

1. Laplace变换438

2. 用Laplace变换解瞬态问题440

3. 举例.波动方程与电报方程444

引言450

第六章 多于两个自变量的双曲型方程450

第一部分 解的唯一性，构造，与几何性质451

1. 二阶微分方程.特征的几何性质451

1. 二阶拟线性微分方程451

2. 线性微分方程454

3. 射线或双特征456

4. 特征曲面作为波前457

5. 特征的不变性458

6. 射线锥面，法锥面，射线劈锥面459

7. 与Riemann尺度的联系461

8. 对射变换462

9. Huyghens的波前构图法464

2. 二阶方程.特征的作用465

10. 类空间曲面.类时间方向465

1. 二阶间断性466

2. 沿特征曲面的微分方程467

3. 间断性沿射线的传播468

4. 例证.三维空间里波动方程Gauchy问题的解469

3. 高阶算子的特征流形的几何性质471

1. 记号471

2. 特征曲面，特征形，特征矩阵473

3. 特征条件在时空中的解释.法锥面与法曲面，特征零化矢量与本征值474

4. 特征曲面--波前--的构造.射线，射线锥面，射线劈锥面476

5. 波前与Huyghens的构图法.射线曲面与法曲面478

5a. 例.480

7. 双曲性.类空间流形，类时间方向481

6. 不变性481

8. 对称双曲型算子484

9. 高阶对称双曲型方程485

10. 多重特征曲面叶和可约化性486

11. 关于双特征方向的引理487

3a. 例.流体动力学，晶体光学，磁流体动力学489

1. 引言489

2. 流体动力学微分方程组490

3. 晶体光学492

4. 法曲面和射线曲面的形状494

5. 晶体光学的Gauchy问题498

6. 磁流体动力学500

2. 一阶方程组的一阶导数的间断性.输运方程504

1. 引言504

4. 间断性的传播和Gauchy问题504

3. 初始值的间断性.理想函数的引入.前进波506

4. 一阶方程组的间断性的传播509

5. 重数不变的特征511

5a. 间断性沿高于一维的流形而传播的例子.锥形折射512

6. 初始间断的分解和Gauchy问题的解513

6a. 特征曲面作为波前515

7. 用收敛的波展开式解Gauchy问题516

8. 二阶和高阶的方程组516

9. 补注.弱解.激波518

5. 振荡的初始值.解的渐近展开式.向几何光学的过渡519

1. 前注.高阶前进波519

2. 渐近解的构造520

3. 几何光学523

6. 初值问题的唯一性定理和依赖区域的例子525

1. 波动方程525

2. 微分方程utt--△u+?ut=0(Darboux方程)527

3. 真空中的Maxwell方程528

7. 双曲型问题的依赖区域530

1. 引言530

2. 依赖区域的描述531

8. 能量积分和一阶线性对称双曲型方程组的唯一性定理532

1. 能量积分和Gauchy问题的唯一性532

2. 一阶的和高阶的能量积分534

3. 混合初边值问题的能量不等式536

4. 对于单个二阶方程的能量积分539

9. 高阶方程的能量估计540

1. 引言540

2. 关于高阶双曲型算子的解的能量恒等式和不等式.Leray与GArding的方法541

3. 其它方法544

10. 存在定理546

1. 引言546

2. 存在定理547

3. 关于初始值性质的持久性和关于相应的半群的一些注记Huyghens小原理549

4. 聚焦.可微性非持久的例子551

5. 关于拟线性方程组的注记552

6. 关于高阶方程或非对称方程组的注记552

1. 概述.记号553

11. 引言553

第二部分 解的表示553

2. 一些积分公式.函数的平面波分解式554

12. 常系数二阶方程558

1. Gauchy问题558

2. 波动方程的解的构造559

3. 降维法563

4. 解的进一步的讨论.Huyghens原理564

5. 非齐次方程.Duhamel积分567

6. 一般二阶线性方程的Gauchy问题568

7. 辐射问题571

13. 球面平均法.波动方程与Darboux方程574

1. 关于平均值的Darboux微分方程574

2. 与波动方程的联系575

3. 波动方程的辐射问题578

4. 广义前进球面波579

13a. 用球面平均法解弹性波的初值问题580

14. 平面平均值法.对于一般常系数双曲型方程的应用584

1. 一般方法585

2. 在解波动方程上的应用588

14a. 在晶体光学方程和其它四阶方程上的应用590

1. Gauchy问题的解590

2. 解的进一步的讨论，依赖区域，隙窝595

15. Gauchy问题的解作为数据的线性泛函，基本解598

1. 说明.记号598

2. 借助于δ函数的分解来构造辐射函数601

3. 辐射矩阵的正则性603

3a. Huyghens一般原理604

4. 例子.特殊的常系数线性方程组.隙窝定理605

5. 例子.波动方程606

6. 例子.关于单个二阶方程的Hadamard的理论609

7. 进一步的例子.两上自变量.注记613

16. 超双曲型微分方程和一般常系数二阶方程613

1. Asgeirsson的一般平均值定理613

2. 平均值定理的别证616

3. 在波动方程上的应用617

4. 波动方程的特征初值问题的解617

5. 其它应用.关于共焦椭球族的平均值定理619

1. 由中心在一个平面上的球上的平均值确定的函数621

17. 对于非类空间初始流形的初值问题621

2. 在初值问题上的应用623

18. 关于前进波的注记，信号的传播和Huyghens原理626

1. 无畸变前进波626

2. 球面波628

3. 辐射与Huyghens原理629

第六章附录 广义函数--分布631

1. 基本定义和概念631

1. 引言631

2. 理想元631

3. 记号和定义632

4. 叠积分633

5. 线性泛函与算子--双一次形633

6. 泛函的连续性.试探函数的支集635

7. 关于r连续性的引理636

8. 几个辅助函数636

9. 例637

2. 广义函数638

1. 引言638

2. 用线性微分算子去定义638

3. 用弱极限去定义640

4. 用线性泛函去定义641

5. 等价性.泛函的表示642

6. 几个结论644

7. 例子.δ函数644

8. 广义函数与通常函数的等同645

9. 定积分.有限部分647

3. 广义函数的演算649

1. 线性运算650

2. 自变量的代换650

3. 例子.δ函数的变换651

4. 广义函数的相乘与褶积652

4. 补注.理论的饰修653

1. 引言653

2. 试探函数的它种空间.空间？.Fourier变换653

3. 周期函数655

4. 广义函数与Hilbert空间.负范数.强定义656

5. 关于其它种类的广义函数的注记657

文献目录659

英汉名词对照表676