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第7章 插值法1

7.1 Lagrange插值1

7.1.1 插值问题1

7.1.2 Lagrange插值多项式3

7.1.3 插值余项的表达式4

7.2 Newton插值7

7.2.1 差商的定义及其性质8

7.2.2 Newton插值公式9

7.2.3 差分的定义及其性质12

7.2.4 等距节点的Newton插值公式14

7.3 Hermite插值与分段插值17

7.3.1 Hermite插值17

7.3.2 分段插值20

7.4 三次样条插值22

7.4.1 三次样条插值的定义23

7.4.2 三次样条插值函数的构造方法24

7.4.3 插值余项31

习题732

第8章 数值积分和数值微分35

8.1 数值求积公式的一般形式及其代数精度35

8.1.1 数值求积公式的一般形式35

8.1.2 求积公式的代数精度36

8.2 Newton-Cotes公式38

8.2.1 插值型求积公式38

8.2.2 Newton-Cotes公式39

8.2.3 复化求积公式44

8.3 Romberg算法47

8.4 Gauss型求积公式50

8.4.1 一般理论50

8.4.2 几种Gauss型求积公式55

8.5 数值微分61

8.5.1 插值型求导公式61

8.5.2 利用三次样条插值函数求数值导数64

习题865

第9章 常微分方程的数值解法67

9.1 概述67

9.1.1 常微分方程初值问题67

9.1.2 建立数值解法的基本思想与途径69

9.1.3 数值方法的截断误差与阶72

9.2 Runge-Kutta方法75

9.2.1 二阶Runge-Kutta方法75

9.2.2 四阶Runge-Kutta方法77

9.3 收敛性、稳定性与误差控制79

9.3.1 收敛性79

9.3.2 稳定性81

9.3.3 误差控制83

9.4 一阶方程组与高阶方程84

9.4.1 一阶方程组84

9.4.2 高阶方程86

9.5 边值问题的差分解法87

9.5.1 线性方程边值问题的差分格式88

9.5.2 其他边界条件的讨论95

9.5.3 非线性方程边值问题95

习题996

第10章 数理方程基本概念98

10.1 二阶线性偏微分方程的分类98

10.1.1 偏微分方程的基本概念98

10.1.2 二阶线性偏微分方程的分类99

10.1.3 二阶线性偏微分方程的标准形式101

10.1.4 两个自变量时化为标准形式的变换103

10.2 典型二阶线性偏微分方程的建立108

10.2.1 振动过程与波动方程108

10.2.2 热传导方程113

10.2.3 稳定状态与Laplaee方程、Poisson方程117

10.3 定解条件与定解问题的提法118

10.3.1 定解条件的数学表示118

10.3.2 定解问题的提法122

10.3.3 定解问题的适定性124

习题10124

第11章 定解问题的分离变量解法126

11.1 一维齐次方程、齐次边界条件混合问题的分离变量解法127

11.1.1 分离变量法127

11.1.2 广义解概念131

11.1.3 级数解的物理意义133

11.1.4 热传导方程混合问题的分离变量解法133

11.1.5 各种齐次边界条件下的固有值与固有函数系135

11.2 非齐次方程及非齐次边界条件的处理142

11.2.1 固有函数法142

11.2.2 非齐次边界条件的齐次化147

11.3 某些区域上二维Laplace方程的分离变量解法151

11.3.1 矩形域上Laplace方程的边值问题151

11.3.2 圆域上Laplace方程的边值问题154

11.4 特殊函数在分离变量法中的应用157

11.4.1 Legendre多项式的应用157

11.4.2 Sturm-Liouville方程的固有值问题161

11.4.3 Bessel函数及其应用162

习题11169

第12章 解定解问题的其他方法173

12.1 波动方程的D'Alembert解法173

12.1.1 一维波动方程Cauchy问题的解173

12.1.2 三维波动方程的Poisson公式180

12.1.3 二维波动方程的Poisson公式184

12.1.4 高维波动方程解的物理意义185

12.2 积分变换法186

12.2.1 积分变换概念187

12.2.2 Fourier变换及其性质187

12.2.3 Laplace变换及其性质190

12.2.4 定解问题的积分变换解法194

12.3 Green函数法199

12.3.1 调和函数的性质199

12.3.2 Laplace方程第一边值问题的Green函数203

12.3.3 球域的Green函数和Poisson积分公式205

12.3.4 解半空间上第一边值问题的Green函数法207

12.3.5 二维情形209

习题12210

第13章 偏微分方程的数值解法213

13.1 椭圆型方程的差分解法213

13.1.1 差分格式的构成213

13.1.2 差分方程解的存在惟一性217

13.1.3 收敛性与误差估计220

13.1.4 一般二阶椭圆型方程第三边值问题的差分格式223

13.2 抛物型方程的差分解法224

13.2.1 古典差分格式的构成225

13.2.2 差分格式的稳定性230

13.2.3 差分格式的收敛性234

13.2.4 二维热传导方程的交替方向格式234

13.3 双曲型方程的差分解法237

13.3.1 三层显格式237

13.3.2 三层隐格式239

13.4 有限元方法240

13.4.1 变分原理240

13.4.2 区域剖分244

13.4.3 面单元分析244

13.4.4 线单元分析249

13.4.5 总体合成与基本方程组250

习题13255

附录1 Jn（x）（n=0,1,2,…,5）的正零点μ(n)（i=1,2,…,9）的近似值257

附录2 Fourier变换与Laplace变换简表258

附录3 习题参考答案261

参考文献270