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第一章　线性空间与内积空间1

1.1　集合与映射1

一、集合及其运算1

二、映射及其性质6

三、可数集9

四、实数集的确界12

1.2　线性空间14

一、线性空间的定义和例子14

二、线性空间的子空间16

三、线性空间的基与维数18

四、线性算子20

五、线性算子的零空间22

六、线性同构23

1.3　内积空间23

一、内积空间的定义及内积的性质24

二、内积空间的例子27

三、正交28

1.4　内积空间中的正交系29

四、内积空间的子空间与同构29

习题一33

第二章　矩阵的相似标准形35

2.1　特征矩阵及其Smith标准形35

一、方阵的特征矩阵35

二、特征矩阵的Smith标准形38

2.2　特征矩阵的行列式因子与初等因子43

一、行列式因子43

二、初等因子46

三、初等因子的求法48

2.3　矩阵的相似标准形50

一、矩阵相似的充分必要条件50

二、Jordan标准形51

三、有理标准形56

2.4　矩阵的零化多项式与最小多项式59

一、零化多项式59

二、最小多项式62

三、方阵可对角化的又一充分必要条件67

一、正规矩阵、酉矩阵、Hermite．矩阵69

2.5　正规矩阵及其酉对角化69

二、酉矩阵的性质70

三、正规矩阵的性质74

四、Hermite矩阵的性质77

五、Hermite二次型80

六、正定矩阵及其性质81

习题二84

3.1　赋范线性空间88

第三章　赋范线性空间及有界线性算子88

一、赋范线性空间的定义89

二、由范数导出的度量92

三、收敛序列与连续映射94

四、Cauchy序列与Banach空间99

五、等价范数107

六、子空间107

附录　函数列的一致收敛108

一、开集和闭集109

3.2　赋范线性空间中的点集109

二、集合的闭包112

三、稠密集与可分空间114

3.3　度量空间116

一、度量空间的定义117

二、度量空间中的点集和序列的收敛119

三、完备化空间121

四、连续映射及其等价命题122

一、从Riemann积分到Lebesgue积分123

3.4　Lebesgue积分与Lp空间123

二、集合的Lebesgue测度126

三、可测函数129

四、Lebesgue积分的定义130

五、Lebesgue积分的几个重要定理134

六、Lp［a,b］空间136

3.5　紧性138

3.6　有界线性算子140

一、有界线性算子及算子范数141

二、线性算子的有界性与连续性143

三、有界线性算子空间145

四、有界线性算子的乘积147

3.7　有限维赋范线性空间147

一、有限维赋范线性空间的完备性148

二、有限维线性空间上范数的等价性150

三、有限维赋范线性空间上线性算子的有界性152

3.8　方阵范数153

一、方阵范数153

二、方阵的算子范数157

三、方阵的谱半径160

3.9　有界线性泛函164

一、有界线性泛函和Hahn-Banach定理164

二、对偶空间166

三、二次对偶空间和自反空间170

四、Hilbert空间上有界线性泛函的表示171

五、伴随算子173

习题三179

一、向量值函数的导数183

4.1　向量和矩阵的微分与积分183

第四章　矩阵分析183

二、单元函数矩阵的微分186

三、单元函数矩阵的积分188

4.2　方阵函数190

一、方阵序列收敛的充分必要条件及性质190

二、方阵幂级数194

三、方阵函数197

四、方阵函数的性质199

一、当A可对角化时f（A）的计算202

4.3　方阵函数值的计算202

二、当A不能对角化时计算f（A）204

三、将f（A）表示为A的多项式210

四、谱映射定理213

4.4　etA在解线性常微分方程组中的应用214

一、一阶线性常微分方程组的向量表示214

二、一阶线性常微分方程组初值问题的解215

习题四220

5.1　解线性方程组的Gauss消去法223

第五章　代数方程组的解法223

一、顺序Gauss消去法224

二、列主元素Gauss消去法228

三、线性方程组的性态与条件数230

5.2　矩阵的三角分解233

一、Doolittle分解233

二、追赶法240

5.3　压缩映射原理242

一、迭代法的一般形式及其收敛性245

5.4　解线性方程组的迭代法245

二、Jacobi迭代法247

三、Seidel迭代法250

四、SOR迭代法253

5.5　非线性方程组迭代法的一般理论257

一、简单迭代格式及其适定性257

二、迭代格式的收敛性与收敛阶259

5.6　解非线性方程组的Newton法264

一、Newton格式264

二、局部收敛定理265

三、Newton格式的变形269

习题五271

第六章广义Fourier级数与最佳平方逼近274

6.1　正交投影和广义Fourier级数274

一、正交投影与正交分解274

二、Fourier系数与Bessel不等式278

三、完全标准正交系及其等价条件280

6.2　函数的最佳平方逼近283

一、最佳平方逼近问题284

二、多项式逼近286

6.3　几种重要的正交多项式289

一、Legendre多项式289

二、关于权函数的正交多项式系295

三、正交多项式的主要性质299

6.4　曲线拟合的最小二乘法305

习题六309

附录 习题答案311