《科技工作者用矩阵方法》

序言1

记号1

1．矩阵是怎样出现的1

目录1

练习7

2．矩阵代数基础9

2.1 定义9

2.2基本运算10

2.2.1 加法10

2.2.2乘标量10

2.2.3两个矩阵的乘法12

2.3.1定义与性质21

2.3转置21

2.3.2对称与埃尔米特矩阵23

2.4分块与子矩阵25

2.5克罗内克积28

2.6矩阵的导数29

练习30

3．线性方程组的唯一解34

3.1两个方程与未知数35

3.2高斯消元法36

3.3三角分解41

3.4病态47

练习48

4．行列式与逆矩阵51

4.1行列式52

4.1.1 3×3情形52

4.1.2一般性质55

4.1.3一些应用61

4.2行列式的求值63

4.3 逆矩阵65

4.3.1定义与性质65

4.3.2分块形式69

4.4逆矩阵的计算71

4.5克拉默法则76

练习77

5．秩与方程组的非唯一解84

5.1 唯一解84

5.2秩的定义85

5.3等价矩阵85

5.3.1初等运算86

5.3.2秩的计算88

5.3.3标准形92

5.4方程组的非唯一解93

5.4.1齐次方程组93

5.4.2非齐次方程组97

5.4.3相容性定理101

5.5最小二乘法102

5.6克罗内克积的应用105

5.7向量的线性相关107

练习110

6．本征值与本征向量116

6.1 定义116

6.2一些应用119

6.3性质122

6.3.1 特征方程122

6.3.2埃尔米特与对称矩阵125

6.3.3矩阵多项式与凯莱－哈密顿定理126

6.3.4友阵131

6.3.5克罗内克积表达式134

6.4相似性136

6.4.1 定义136

6.4.2对角线化137

6.4.3埃尔米特矩阵与对称矩阵139

6.4.4变成友阵形式的变换141

6.5线性微分与差分方程组的解法142

6.6本征值与本征向量的计算144

6.6.1幂法144

6.6.2其它方法147

6.7线性方程组的迭代解法147

6.7.1 高斯－塞德尔法与雅可比法147

6.7.2牛顿－拉夫森型方法154

练习156

7．二次形式与埃尔米特形式163

7.1定义164

7.2二次形式的拉格朗日简化168

7.3西勒维斯特的惯性律171

7.4正负号性质172

7.4.1 定义172

7.4.2检验法173

7.5某些应用178

7.5.1 几何解释178

7.5.2 函数的最优化178

7.5.3瑞利商180

7.5.4李亚普诺夫稳定性181

练习182

8．矩阵函数导论185

8.1定义与性质185

8.2西勒维斯特公式189

8.3线性微分与差分方程组192

练习194

文献195

答案197

人名对照表205

索引205