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第一章 场的数学理论1

§1 数量场与矢量场1

1．1．1 场的概念1

1．1．2 场的几何表示1

§2 场的微分性质3

1．2．1 梯度及其性质3

1．2．2 散度及其性质7

1．2．3 旋度及其性质9

§3 场的积分性质13

1．3．1 流量与奥-高公式13

1．3．2 环量与斯托克斯公式16

§4 有势场、管形场、调和场20

1．4．1 有势场及其性质20

1．4．2 管形场及其性质22

1．4．3 调和场及其性质24

§5 梯度、散度、旋度在柱、球坐标系中的表达式28

1．5．1 在柱坐标系中的表达式28

1．5．2 在球坐标系中的表达式29

第二章 复变函数论34

§1 复数与复变函数34

2．1．1 复数及其运算34

2．1．2 复变函数及其极限与连续性38

§2 复变函数的导数42

2．2．1 导数与解析函数42

2．2．2 导数的几何意义48

§3 复变函数的积分52

2．3．1 积分及其计算52

2．3．2 柯西定理与柯西公式55

§4 解析函数的展式60

2．4．1 解析函数的泰勒展式61

2．4．2 解析函数的罗朗展式65

§5 留数及其应用74

2．5．1 留数与留数定理74

2．5．2 用留数计算实积分78

2．5．3 留数的其他应用83

§6 保角变换86

2．6．1 某些常用的保角变换86

2．6．2 保角变换的一般原理91

2．6．3 许瓦尔茨-克利斯托弗公式94

第三章 数学物理方程与积分变换106

§1 方程的分类与化简106

3．1．1 典型方程的导出及定解问题的提法106

3．1．2 二阶线性偏微分方程的分类与标准形107

§2 双曲型方程112

3．2．1 行波法113

3．2．2 分离变量法124

§3 抛物型方程132

3．3．1 影响函数法132

3．3．2 分离变量法137

§4 椭圆型方程144

3．4．1 影响函数法144

3．4．2 分离变量法148

§5 积分变换155

3．5．1 富氏变换156

3．5．2 拉普拉斯变换161

第四章 特殊函数176

§1 勒让德多项式176

4．1．1 勒让德多项式的表示式176

4．1．2 勒让德多项式的性质177

4．1．3 伴随勒让德函数177

4．2．1 球面函数186

§2 球函数186

4．2．2 球体函数187

§3 柱函数189

4．3．1 第一类贝塞尔函数189

4．3．2 第二类贝塞尔函数195

4．3．3 第三类贝塞尔函数196

4．3．4 变形贝塞尔函数197

4．3．5 贝塞尔方程的本征值问题198

第五章 线性代数211

§1 行列式211

5．1．1 行列式的概念211

5．1．2 行列式的性质211

5．1．3 用行列式解线性方程组213

§2 线性空间214

5．2．1 n维矢量空间214

5．2．2 线性空间215

5．2．3 实欧氏空间216

§3 矩阵221

5．3．1 矩阵的定义和代数运算221

5．3．2 方阵224

5．3．3 矩阵的初等变换226

5．3．4 矩阵的秩和线性方程组227

§4 线性变换和二次型232

5．4．1 线性变换的定义和运算234

5．4．2 Vn上线性变换的矩阵表示237

5．4．3 线性变换的特征值和特征矢量238

5．4．4 欧氏空间中的对称变换、正交变换和二次型241

第六章 概率论与数理统计255

§1 概率论的基本概念及运算255

6．1．1 随机事件255

6．1．2 概率的概念与性质257

6．1．3 概率的基本运算258

§2 随机变量及其分布264

6．2．1 随机变量及其分布函数265

6．2．2 离散型随机变量及其分布265

6．2．3 连续型随机变量及其分布269

6．2．4 二维随机变量及其分布272

6．2．5 二维随机变量的条件分布275

6．2．6 随机变量的函数的分布279

§3 随机变量的数字特征283

6．3．1 离散型随机变量的数字特征283

6．3．2 连续型随机变量的数字特征287

6．3．3 随机变量的函数的数字特征290

§4 大数定律及中心极限定理296

6．4．1 大数定律297

6．4．2 中心极限定理298

§5 随机样本及统计量302

6．5．1 样本及其数字特征302

6．5．2 统计量及其分布303

§6 未知参数的估计306

6．6．1 点估计307

6．6．2 区间估计312

§7 假设检验317

6．7．1 参数假设检验317

6．7．2 非参数假设检验323

§8 方差分析328

6．8．1 单因素方差分析328

6．8．2 双因素方差分析330

§9 回归分析333

6．9．1 线性回归分析333

6．9．2 非线性回归分析338