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第一单元 一元函数微积分1

一、函数、极限与连续1

（一）函数概念及其性质1

（二）关于函数的主要计算和证明2

（三）极限概念及其性质8

（三）关于数列极限的主要计算和证明10

（五）函数极限概念及其性质17

（六）关于函数极限的主要计算和证明21

（七）函数的连续概念及其性质41

（八）关于连续的主要计算及证明42

二、导数与微分52

（一）导数、微分概念与微分法52

（二）关于导数与微分的主要计算和证明55

（一）微分中值定理75

三、微分学的几个基本定理75

（二）关于微分中值定理的主要计算和证明77

四、函数性态的研究89

（一）函数的几何性态及其判定89

（二）关于函数几何性态的主要计算和证明92

五、不定积分106

（一）不定积分的概念与积分法106

（二）基本积分法的应用举例107

（三）特殊类型函数的积分法121

六、定积分及其应用148

（一）定积分概念及其性质148

（二）定积分的基本计算法149

（三）定积分的应用150

（四）关于定积分的主要计算和证明153

（一）广义积分类型及其收敛判别法185

七、广义积分185

（二）关于广义积分的主要计算和证明举例186

第二单元 级数192

一、数项级数192

（一）基本概念与定理192

（二）关于数项级数的主要计算和证明196

二、幂级数209

（一）基本概念与定理209

（二）关于函数项级数的主要计算和证明215

三、付立叶级数225

（一）基本概念与定理225

（二）关于付立叶级数的主要计算和证明230

一、矢量代数237

（一）基本概念和基本计算237

第三单元 矢量代数与空间解析几何237

（二）主要计算和证明241

二、空间解析几何246

（一）基本概念和基本问题246

（二）平面及其方程247

（三）直线的方程248

（四）直线和平面间相互关系248

（五）常用曲面及其方程249

（六）空间曲线及其投影曲线251

（七）主要计算和证明252

第四单元 多元函数微积分259

一、多元函数、极限与连续259

（一）基本概念及其性质259

（二）主要计算和证明261

（一）基本概念及其性质263

二、偏导数与全微分263

（二）主要计算和证明265

三、隐函数的微分法273

（一）关于隐函数的基本定理与微分法273

（二）主要计算和证明275

四、偏导数的应用277

（一）偏导数的几何应用277

（二）主要计算和证明279

五、多元函数的极值281

（一）基本概念与定理281

（二）主要计算和证明282

六、二重积分286

（一）基本概念和基本定理286

（二）二重积分的计算方法287

（三）二重积分的应用290

（四）关于二重积分的主要计算和证明291

七、三重积分与多重积分305

（一）基本概念和基本性质305

（二）三重积分的计算方法305

（三）三重积分在物理上的应用310

（四）关于三重积分的主要计算和证明311

八、曲线积分318

（一）基本概念及基本定理318

（二）关于曲线积分的主要计算和证明322

九、曲面积分334

（一）基本概念和基本定理334

（二）关于曲面积分的主要计算和证明339

十、广义二重积分352

（一）基本概念和性质352

（二）关于广义二重积分的主要计算和证明355

（一）基本概念和性质361

十一、带参变量的积分361

（二）关于带参变量积分的主要计算和证明363

第五单元 矢量分析和场论372

一、矢函数372

（一）基本概念和定理372

（二）主要计算和证明374

二、场论377

（一）基本概念377

（二）梯度及其有关计算和证明378

（三）散度及其有关计算和证明380

（四）旋度及其有关计算和证明382

（五）哈米尔顿算子383

（六）几个重要的场388

（一）基本概念393

（二）例题393

第六单元 常微分方程393

一、微分方程的基本概念和例题393

二、一阶微分方程396

（一）基本定理396

（二）分离变量型方程396

（三）齐次型方程399

（四）线性方程401

（五）全微分方程405

三、高阶微分方程409

（一）基本定理409

（二）可降阶的高阶微分方程410

（三）常系数线性方程414

（四）欧拉方程420

（五）利用幂级数解微分方程421

（六）利用拉普拉斯变换解常微分方程426

四、微分方程组428

（一）基本概念和基本定理428

（二）解微分方程组的消元法433

（三）解微分方程组的首次积分法435

（四）常系数齐次线性方程组的解法440

（五）常系数非齐次线性方程组的解法443

第七单元 积分变换449

一、富里哀变换449

二、拉普拉斯变换452

（一）拉氏变换概念及其性质452

（二）拉氏变换的逆变换454

（三）拉氏变换的应用举例455

（一）n阶行列式概念，性质与计算460

一、行列式460

第八单元 线性代数460

（二）克拉姆法则463

（三）行列式乘法464

二、矩阵466

（一）矩阵及其运算466

（二）方阵的逆矩阵，矩阵的分块468

（三）矩阵的秩472

三、线性方程组474

（一）n维向量的线性相关性474

（二）向量空间475

（三）关于线性方程组解的理论477

四、矩阵化成对角形481

（一）矩阵的特征值与特征向量481

（二）矩阵的对角化484

（三）矩阵的约当标准形488

（一）二次型化平方和493

五、二次型493

（二）惯性定理496

（三）实二次型分类498

六、线性空间与线性变换500

（一）线性空间500

（二）线性空间的基底和维数501

（三）线性变换的定义及其运算502

（四．线性变换的矩阵504

第九单元 复变函数509

一、复平面509

（一）复数运算、模及幅角509

（二）复数序列的极限、无穷远点510

（三）平面点集513

（一）基本概念514

二、复变数函数514

（二）柯西一黎曼方程516

（三）调和函数517

（四）初等函数521

三、解析函数的积分529

（一）复积分529

（二）柯西积分定理和柯西积分公式531

（三）关于解析函数的一些重要定理533

四、解析函数的级数表示537

（一）复变函数项级数537

（二）幂级数和解析函数的台劳展开538

（三）罗朗级数和解析函数的孤立奇点543

五、留数及其应用549

（一）留数定理549

（二）定积分计算552

（三）幅角原理562

（四）求拉普拉斯变换的本函数563

六、保角变换566

（一）保角变换的一般原理566

（二）分式线性变换567

（三）解题举例570

（四）平面场573

第十单元 数学物理方程579

一、数学物理中的偏微分方程579

（一）分类579

（二）定解条件和定解问题581

（三）适定性582

（四）关于数理方程的解法584

（五）迭加原理584

二、通解方法585

三、分离变量法589

（一）分离变量法的步骤589

（二）固有值问题589

（三）解题举例593

（四）非齐次情形596

（五）杂例602

四、特殊函数——分离变量法（续）606

（一）贝塞尔函数606

（二）球函数622

五、积分变换方法631

（一）用富氏变换解题631

（二）用拉氏变换解题635

六、基本解和格林函数方法639

（一）δ-函数639

（二）基本解641

（三）场位方程的格林函数644

（四）用镜象法求格林函数645

（五）二维情形647

（六）用保角变换方法解二维拉氏方程650

第十一单元 概率论653

一、随机事件及其概率653

（一）基本概念653

（二）重要定理与公式654

（三）概率的直接计算655

（四）复杂事件的概率计算663

二、随机变量及其分布671

（一）基本概念及其性质671

（二）几个重要的概率分布672

（三）主要计算与举例675

（一）基本概念与性质688

三、多维随机变量及其分布688

（二）常见的多维随机变量分布690

（三）边际分布和条件分布691

（四）多维随机变量函数的分布692

（五）主要计算及举例696

四、随机变量的数字特征710

（一）一维随机变量的数字特征710

（二）多维随机变量的数字特征713

（三）几个重要不等式715

（四）一些重要分布的数字特征716

（五）主要计算及举例717

五、大数定律与中心极限定理728

（一）大数定律728

（二）中心极限定理730