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§1 代数公式1

一、数的扩张、分类及其基本运算规则1

1．数的扩张与分类表1

2．实数四则运算规则1

第一章 代数、三角公式与初等函数1

3．数的三个基本运算律2

4．乘方与开方2

5．实数进位制2

二、复数7

1．复数的概念7

3．复数的运算8

2．复数的表示法8

三、数列与简单级数9

1．数列与级数的概念9

2．等差数列与等差(算术)级数9

3．等比数列与等比(几何)级数9

4．算术-几何级数9

5．调和级数10

6．高阶等差级数10

7．某些级数的部分和11

四、乘法与因式分解公式13

2．部分分式14

1．分式运算14

五、分式14

六、比例17

七、根式18

1．根式的概念18

2．根式运算18

八、不等式18

1．简单不等式18

2．有关绝对值的不等式19

3．有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式19

4．某些重要不等式20

5．二次不等式解法22

九、阶乘、排列与组合23

1．阶乘23

2．排列24

3．组合24

十、杨辉三角形与多项式定理27

十一、数学归纳法与抽屉原理27

§2 初等函数及其数值计算28

一、函数的概念与分类28

二、幂函数与有理函数29

三、指数函数与对数函数30

1．角的度量与换算32

四、平面三角函数与反三角函数32

2．三角函数的定义33

3．特殊角的三角函数值36

4．三角函数基本关系和公式38

5．反三角函数定义43

6．反三角函数的相互关系与基本公式45

7．三角形基本定理46

8．斜三角形解法47

五、球面三角48

1．球面三角有关名称及性质48

2．球面三角形基本定理与公式48

3．球面三角形解法50

六、双曲函数52

1．双曲函数的定义、图形与特征52

2．双曲函数的相互关系和基本公式54

3．反双曲函数的定义、图形与特征56

4．反双曲函数的相互关系与基本公式58

5．双曲函数与三角函数的对比59

第二章 初等几何图形的计算与作图60

§1 三角形与四边形60

一、三角形各元素的计算60

1．三角形各元素60

二、三角形和四边形的面积、几何重心、转动惯量计算公式61

2．三角形各元素计算公式61

§2 圆与正多边形65

一、与圆有关的各量计算公式65

二、与圆有关的各种图形的面积、几何重心与转动惯量计算公式66

三、正多边形各量换算公式与比例系数表70

§3 实用几何作图71

一、正多边形作图71

二、椭圆作图74

三、圆弧放样法75

四、几何作图问题76

一、立体图形的体积、表面积、侧面积、几何重心与转动惯量计算公式77

§4 立体图形的体积、表面积、侧面积、几何重心与转动惯量计算公式77

二、多面体86

第三章 代数方程87

§1 二、三、四次方程的根的表达式87

1．基本概念87

2．二次方程88

3．三次方程88

4．四次方程89

5．阿贝耳定理90

§2 代数方程的性质90

一、多项式与代数方程的一般性质90

二、多元多项式·对元多项式·结式95

三、代数方程的根的隔离97

§3 代数方程的特殊解法99

1．求有理根99

2．解三项方程100

3．解倒数方程100

4．解二项方程101

§4 实根的近似计算101

一、秦九韶法102

二、二分法103

三、迭代法104

1．一般牛顿法106

四、牛顿法106

2．近似牛顿法108

3．逐次压缩牛顿法108

4．牛顿法解非线性方程组108

五、弦截法(线性插值法)110

六、联合法(牛顿法与弦截法联合使用)110

七、抛物线法(穆勒法)112

八、林士谔-赵访熊法(劈因子法)113

九、下降法115

§1 矩阵与行列式117

一、矩阵及其秩117

第四章 矩阵·行列式·线性方程组117

二、行列式118

1．行列式及共拉普拉斯展开定理118

2．行列式的性质120

3．几个特殊行列式121

§2 矩阵的运算123

一、矩阵的相等、加、减、数乘、乘法、转置与共轭123

二、矩阵的初等变换与初等矩阵125

三、矩阵的微积分127

四、特殊矩阵127

五、相似变换133

六、逆矩阵135

七、特征值与特征矢量143

八、矩阵多项式与最小多项式149

§3 线性方程组150

一、含n个未知量n个方程的线性方程组解法150

二、一般情形的线性方程组161

三、整系数线性齐次方程组的整数解162

四、一类线性不等式组的解(克莱姆法则)163

第五章 微分学164

§1 序列与函数的极限164

一、序列的极限164

1．基本概念164

2．序列极限存在的判别法165

3．序列极限的基本公式166

4．常用序列的极限166

二、函数的极限167

1．基本概念167

2．函数极限存在的判别法168

3．函数极限的基本公式168

4．一些重要函数的极限169

5．不定式的定值法——洛比达法则171

6．函数无穷小和无穷大的阶(符号O~*，o，O，～)173

1．单变量函数的连续性174

三、函数的连续性174

2．多变量函数的连续性177

§2 级数的收敛与运算179

一、数项级数收敛的判别法179

1．基本概念与基本性质179

2．同号级数收敛判别法180

3．变号级数收敛判别法182

二、函数项级数收敛的判别法183

1．收敛与一致收敛183

2．一致收敛判别法185

3．函数级数的运算及共条件186

三、二重级数187

四、无穷乘积191

一、单变量函数的微分194

1．基本概念194

§3 微分194

2．求导数的基本法则195

3．函数的微分与高阶导数196

4．数值导数200

二、多变量函数的微分203

三、函数行列式(或雅可比式)及其性质210

四、隐函数213

1．单变量隐函数213

3．由方程组所确定的隐函数214

2．多变量隐函数214

五、微分表达式中的变量替换215

1．单变量函数215

2．多变量函数216

六、微分学的基本定理(中值定理)217

七、泰勒公式与泰勒级数219

1．单变量函数的泰勒公式219

2．多变量函数的泰勒公式221

八、幂级数222

1．单变量的幂级数222

2．多变量的幂级数223

3．函数的幂级数展开式224

九、实数域上函数的幂级数展开式表225

十、微分的应用(Ⅰ)——函数的极值232

1．单变量函数的极值232

2．多变量函数的极值233

3．约束条件为等式的条件极值234

4．约束条件为不等式的条件极值236

十一、微分的应用(Ⅱ)——曲线的性状与作图238

1．曲线的性状及其条件238

2．奇点239

3．渐近线241

4．作图242

一、积分基本概念244

第六章 积分学244

§1 单变量函数的积分244

二、积分不等式246

三、原函数的求法247

1．不定积分法则247

2．有理分式的积分247

3．有理函数积分的变量替换公式表248

4．不定积分表250

五、一般二次曲线262

四、定积分的求法278

五、广义积分284

1．广义积分的概念284

2．广义积分收敛判别法285

六、含参数积分286

1．含参数常义积分286

2．含参数广义积分287

七、斯蒂尔吉斯积分288

八、积分的近似计算289

1．内插求积公式289

2．高斯型求积公式的求积节点和求积系数表295

§2 多重积分、曲线积分与曲面积分301

一、多重积分301

1．二重积分301

2．三重积分302

3．多重积分304

二、曲线积分305

三、曲面积分307

四、重积分、曲线积分与曲面积分的近似计算309

§3 积分的应用316

一、求面积316

二、求体积318

三、n维空间中凸体体积公式319

四、求重心320

五、求转动惯量322

一、区域函数与密度函数323

六、求流体压力323

七、求变力所做的功323

§4 区域函数323

二、密度函数的积分324

三、δ-函数概念325

第七章 解析几何与微分几何327

§1 坐标系与坐标变换327

一、平面坐标系及其变换表327

二、空间坐标系及其变换表328

§2 解析几何中的基本计算331

§3 平面上的直线333

一、平面上直线的方程与图形333

二、平面上点与直线的相互关系336

一、直线的方向338

§4 空间中的直线与平面338

二、平面的方程339

三、直线的方程341

四、空间中点、直线、平面的相互关系342

§5 二次曲线346

一、圆346

二、椭圆349

1．椭圆的基本元素349

2．椭圆的方程、顶点、中心与焦点350

3．椭圆的性质351

4．双曲线各量计算公式353

4．椭圆各量计算公式353

三、双曲线354

1．双曲线的基本元素354

2．双曲线的方程、顶点、中心、焦点与渐近线355

3．双曲线的性质356

四、抛物线358

1．抛物线的基本元素358

2．抛物线的方程、顶点、焦点与准线359

4．抛物线各量计算公式361

3．抛物线的性质361

1．二次曲线的一般性质362

2．二次曲线的不变量363

3．二次曲线的标准方程与形状364

4．二次曲线y~2=ax~2+bx+c的几种情况364

5．圆锥截线365

§6 二次曲面366

一、球面366

二、椭球面368

三、双曲面369

四、抛物面370

五、锥面与柱面371

六、一般二次曲面373

1．二次曲面的一般性质373

2．二次曲面的不变量374

3．二次曲面的标准方程及形状374

§7 平面曲线375

§8 重要平面曲线表383

§9 空间曲线406

一、曲线的基本概念与公式406

§10 螺旋面412

二、螺旋线的方程与图形412

§11 可展曲面413

§12 一般曲面415

一、曲面的方程与曲线坐标415

二、切面、法线与曲面的方向415

三、第一基本二次型与曲面的度量417

四、第二基本二次型与曲面曲线的曲率419

五、曲面曲线的曲率半径420

六、第三基本二次型与曲面的曲率421

七、渐近曲线、共轭曲线与极小曲面422

八、曲面的基本公式与基本方程423

九、曲面曲线的测地曲率、测地线与测地坐标425

第八章 矢量算法与场论初步·张量算法与黎曼几何初步428

§1 矢量算法428

一、矢量代数428

二、矢量分析434

1．矢量微分434

2．矢量积分436

§2 场论初步437

一、场论的基本概念及梯度、散度与旋度437

二、梯度、散度、旋度在不同坐标系中的表达式440

1．单位矢量的变换440

2．矢量的坐标变换441

3．各种算子在不同坐标系中的表达式443

三、曲线积分、曲面积分与体积导数444

四、矢量的积分定理446

§3 仿射坐标系447

一、仿射坐标系与度量系数447

二、逆变矢量与协变矢量449

三、n维空间450

§4 张量算法452

一、张量概念452

二、张量代数453

三、张量分析455

一、黎曼空间458

§5 黎曼几何初步458

二、勒维-奇维塔的平行性460

三、黎曼空间中的曲率461

第九章 抽象代数·线性空间·泛函分析464

§1 抽象代数464

一、基本代数系统464

二、群464

三、环468

§2 线性空间与线性子空间470

一、线性空间470

四、域470

二、线性子空间472

§3 线性变换474

一、基本概念474

二、线性变换的运算477

三、对偶空间与对偶映射478

§4 酉空间480

一、酉空间的定义与性质480

二、酉空间上的特殊线性变换481

三、射影482

§5 二次型与埃尔米特型484

一、二次型484

四、酉空间中的度量484

二、埃尔米特(H)型487

§6 方阵的若当标准形488

一、不变子空间488

二、方阵的标准化489

三、方阵标准化的方法与步骤490

§7 泛函分析初步493

一、勒贝格积分493

1．测度与可测函数493

2．勒贝格积分494

3．平方可积函数496

二、希尔伯特空间497

三、巴拿赫空间499

第十章 复变函数502

§1 解析函数502

一、复变函数基本概念与复变函数的导数502

二、解析函数504

1．解析函数的定义与柯西-黎曼方程505

2．解析开拓506

3．初等解析函数506

4．黎曼面·支点与支线510

§2 保角映射511

一、保角映射及其性质511

二、分式线性映射及其性质511

三、简单分式线性映射512

四、对称原理与多边形映射514

五、保角映射的存在唯一性定理(黎曼定理)516

§3 复变函数的积分517

一、复变函数的积分的定义与公式517

二、解析函数的积分的性质518

§4 泰勒级数·罗朗级数·留数定理521

一、泰勒级数与罗朗级数521

1．泰勒级数521

3．解析函数的局部性质523

2．罗朗级数展开定理523

4．单值解析函数的分类525

5．半纯函数的部分分式表达式525

二、留数定理及其应用526

第十一章 傅立叶级数与积分变换531

§1 傅立叶级数531

一、三角级数与傅立叶级数531

二、f(x)在其他区间上的傅立叶级数533

三、傅立叶系数的性质535

四、傅立叶级数的收敛性及在第一类间断点的性质536

五、傅立叶级数的逐项积分与微分538

六、函数的傅立叶级数展开式表539

七、二重傅立叶级数549

§2 广义傅立叶级数与傅立叶-贝塞耳级数550

一、广义傅立叶级数550

二、傅立叶-贝塞耳级数551

§3 拉普拉斯变换553

§4 傅立叶变换566

一、傅立叶积分566

二、傅立叶变换567

三、傅立叶余弦变换571

四、傅立叶正弦变换573

五、有限傅立叶余弦变换574

六、有限傅立叶正弦变换575

七、二重傅立叶变换及其反演公式577

§5 快速傅立叶变换577

一、有限离散傅立叶变换577

二、快速傅立叶变换算法578

§6 梅林变换580

§7 汉克尔变换584

§1 由积分定义的特殊函数587

一、伽马函数(Г-函数)587

第十二章 特殊函数587

二、贝塔函数(B-函数)590

三、普西函数(ф-函数)592

四、菲涅耳函数594

五、概率积分(误差函数)595

§8 勒让德变换及其反演公式596

六、正弦积分与余弦积分596

七、指数积分597

八、对数积分599

九、不完全伽马函数599

十、椭圆积分600

§2 正交多项式606

一、勒让德多项式606

二、第一类契贝谢夫多项式608

三、第二类契贝谢夫多项式609

四、拉盖尔多项式610

1．一般拉盖尔多项式610

2．拉盖尔多项式611

五、埃尔米特多项式612

六、雅可比多项式614

七、盏根堡多项式615

§3 超几何函数617

一、高斯超几何级戴617

二、库默尔函数(合流超几何函数)620

一、勒让德函数的定义622

§4 勒让德函数622

二、勒让德函数的其他表达式624

三、勒让德函数的递推公式与有关公式626

四、勒让德函数的正交性626

五、勒让德函数的渐近表达式与不等式626

§5 贝塞耳函数627

一、第一类贝塞耳函数627

二、第二类贝塞耳函数(诺伊曼函数)631

三、第三类贝塞耳函数(汉克尔函数)632

四、各类贝塞耳函数之间的关系与有关公式635

五、变型贝塞耳函数637

一、椭圆函数的定义与性质640

§6 椭圆函数640

二、雅可比椭圆函数641

三、外尔斯特拉斯椭圆函数647

§7 伯努利数与伯努利多项式648

一、伯努利数648

二、伯努利多项式648

第十三章 常微分方程650

§1 微分方程的一般概念650

§2 一阶微分方程651

一、一阶微分方程解的存在和唯一性651

3．线性方程652

2．齐次方程652

1．变量可分离方程652

二、可积类型及其通解652

4．伯努利方程653

5．全(恰当)微分方程653

6．可将y解出的方程653

7．可将x解出的方程654

8．不显含未知函数的方程654

9．不显含自变量的方程654

10．能化为变量可分离或齐次方程的方程655

11．黎卡提方程655

12．含积分因子的方程656

三、奇解及其求法657

§3 线性生微分方程658

一、一般概念658

二、常系数线性微分方程660

1．齐次线性微分方程通解的求法660

2．非齐次线性微分方程特解的求法660

三、欧拉方程663

四、齐次线性微分方程的幂级数解法663

§4 高阶微分方程与微分方程组666

一、高阶微分方程与微分方程组的互化666

2．F(x，y~(n))=0667

1．y~(n)=f(x)667

二、高阶微分方程的几种可积类型及其解法667

3．F(y~(n-1),y~(n))=0668

4．F(y~(n-2)，y~(n))=0668

三、线性微分方程组669

1．齐次线性微分方程组与非齐次线性微分方程组669

2．常系数线性微分方程组670

四、常系数非齐次线性微分方程的算子解法与方程组的算子解法(消去法)672

§5 稳定性理论大意677

一、稳定性的概念677

二、稳定性问题的解法679

三、极限圈(或极限环)685

一、一阶微分方程初值问题的数值解686

§6 常微分方程的数值解法686

二、一阶微分方程组初值问题的数值解689

三、边值问题690

四、小参数法691

第十四章 偏微分方程694

§1 偏微分方程的一般概念与定解问题694

§2 一阶偏微分方程696

一、柯西—柯娃列夫斯卡娅定理696

二、一阶线性方程697

1．一阶齐次线性方程697

三、一阶拟线性方程698

2．非齐次线性方程698

四、一阶非线性方程699

五、一阶线性偏微分方程组705

§3 二阶偏微分方程710

一、二阶倘微分方程的分类、标准形式与特征方程710

二、极值原理·能量积分·定解问题的唯一性定理713

三、三种典型方程717

1．波动方程717

2．热传导方程720

3．拉普拉斯方程721

四、基本解与广义解724

1．分离变量法728

五、二阶偏微分方程的常用解法728

2．双曲型方程的黎曼方法733

3．椭圆型方程的格林方法735

4．积分变换法736

§4 偏微分方程的数值解法738

—、差分法738

1．网格与差商738

2．椭圆型方程的差分方法739

3．抛物型方程的差分方法743

4．双曲型方程的差分方法744

1．自共轭边值问题745

二、变分方法745

2．变分原理与广义解746

3．极小化序列与里兹方法747

4．里兹方法在特征值问题上的应用748

5．迦辽金方法749

第十五章 积分方程750

§1 积分方程一般概念弗雷德霍姆方程750

一、积分方程一般概念750

1．积分方程的定义与分类750

2．积分方程与微分方程之间的关系751

二、格林函数及其物理意义753

三、具有可分离核(退化核)的Fr方程756

四、希尔伯特-施密特的理论760

五、第二类Fr方程的逐次逼近法与诺伊曼级数解763

六、弗雷德霍姆的理论765

§2 奇异积分方程767

一、奇异积分方程的定义与例子767

二、具有柯西核和希尔伯特核的积分方程769

§3 沃尔黍拉积分方程771

§4 积分方程的近似解法774

§5 非线性积分方程779

一、事件与概率782

1．随机事件及共运算关系782

§1 概率论782

第十六章 概率统计与随机过程782

2．概率的几种定义783

3．概率的基本性质784

4．概率的计算公式784

二、随机变量与分布函数786

三、随机变量的数字特征789

四、概率母函数·矩母函数·特征函数792

五、常用分布函数794

1．常用离散型分布794

2．常用连续型分布796

六、大数法则与中心极限定理802

七、正态分布表的用途803

八、概率纸804

§2 数理统计方法809

一、总体参数的估计809

1．总体(母体)与样本(子样)809

2．样本特征数与总体数字特征对照表809

3．总体参数的点估计811

4．样本的频率分布813

5．总体参数的区间估计814

2．正态总体参数的统计检验表816

1．统计检验的步骤816

二、统计检验816

3．总体分布函数的统计检验820

4．两个样本是否来自同分布总体的统计检验820

三、方差分析825

四、回归分析836

1．最小二乘法原理836

2．一元线性回归836

3．抛物线回归841

4．可化成线性回归的曲线回归842

5．二元线性回归847

6．多元线性回归851

五、正交试验设计853

六、抽样检验方法860

七、质量评估(工序控制)方法865

§3 随机过程867

一、一般随机过程867

二、马尔科夫过程870

1．转移概率870

2．马尔科夫链870

3．时间连续、状态离散的马尔科夫过程874

4．扩散过程875

三、平稳随机过程875

一、观测误差879

第十七章 误差理论与实验数据处理879

§1 误差理论879

二、平均值及其精密度指标880

三、误差的表示法882

四、高斯误差定律884

五、误差与有效数字885

§2 插值公式887

一、不等距节点插值公式(差商插值多项式)887

二、等距节点插值公式(差分公式)889

三、拉格朗日插值多项式892

四、三次样条(Spline)内插公式894

五、其他插值公式899

§3 曲线拟合的圆弧法与平均法900

一、曲线拟合的圆弧法900

二、曲线拟合的平均法902

§4 实验曲线的光滑法903

一、实验曲线的光滑与观测值的修匀903

二、直线的滑动平均法904

三、二次抛物线的滑动平均法907

四、三次抛物线的滑动平均法909

§5 滤波911

一、最小二乘滤波911

二、维纳滤波913

三、卡尔曼滤波917

第十八章 最优化方法921

§1 单变量函数极值问题解法(直接法)921

§2 多变量函数极值问题解法(直接法)925

§3 无条什极值问题解法934

§4 条件极值问题解法939

§5 变分法959

一、泛函的变分与泛函的极值959

二、不动边界的泛函的极值·欧拉方程960

三、可动边界的泛函的极值963

四、条件极值问题965

五、变分问题的直接方法967

§6 最小(大)值原理970

§7 动态规划974

第十九章 有限无法981

§1 一般原理与解算步骤981

一、变分原理与有限元法981

二、在弹性力学问题上的应用(位移法)982

三、有限元解法的主要步骤984

§2 基本单元与线性插值989

一、基本单元与型函数990

二、直线段单元990

三、三边形单元990

四、四边形单元991

五、四面体单元993

六、六面体单元994

七、三棱柱单元997

八、基本单元的特点998

§3 等参数单元与高次插值998

一、等参数单元998

二、多节点线元上的插值999

三、平面等参数单元的型函数1000

四、空间等参数单元的型函数1002

五、等参数单元的特点1004

一、协调问题与拟协调单元1006

§4 拟协调单元1006

二、一维单元的高次插值1010

三、三边形单元的高次插值1012

四、四边形单元1021

§5 弹性理论与有限元解法1024

一、三维的弹性问题1024

二、二维的弹性问题1030

三、一维的弹性问题1037

四、与有限元解法有关的问题1040

附录 有限元法中的数值积分1051

§1 整数1055

第二十章 初等数论1055

§2 连分数1059

§3 同余式1065

§4 数论函数1076

§5 多项式1080

§6 代数数1084

第二十一章 集论与一般拓扑学1089

§1 集(集合)1089

一、集的定义1089

1．集的古典定义1089

2．罗素怪异1090

3．ZFC公理系统与BNG公理系统1091

二、变换·集的一般表示法·标号集1092

三、公理系统规定的集1093

§2 序数与基数1095

一、排队(良序)集1095

二、序数1096

三、正整数·超跟序敢·超限归纳法1097

四、选择公理与排队定理1099

五、序数算术1099

六、基数1100

七、基数算术1102

一、基本概念1103

§3 拓扑空间1103

二、点集的基本拓扑概念1106

三、拓扑空间的分离程度·可数公理1108

1．不同分离程度的拓扑空间1108

2．可数性1109

四、极限与连续1109

五、点网1111

§4 尺度空间与一致空间1112

一、尺度空间1112

二、一致空间1115

一、紧致点集1117

§5 紧致点集与联结点集1117

二、联结点集1119

§6 流形1121

附表1125

1．数学常数表1125

2．2的幂乘表1127

3．n~m表1127

4．素数表1128

5．二项系数表1130

6．阶乘表1130

7．平方、立方、平方根、立方根与倒数表1132

8．三角函数表1157

9．常用对数表1206

10．自然对数表1231

11．三角函数对数表1235

12．角度化弧度换算表1281

13．弦长为1的弓形的弧长与面积表1285

14．半径为1的弓形的弧长、拱高、弦长与面积表1286

15．直径为d的圆周长表1292

16．直径为d的圆面积表1295

17．双曲函数表1298

18．双曲函数对数表1304

19．指数函数表1308

20．伽马函数表1312

21．概率积分(或误差函数)表1315

22．正弦积分表1317

23．余弦积分表1318

24．指数积分表1319

25．椭圆积分表1321

26．勒让德多项式表1324

27．贝塞耳函数表1326

28．正态分布表1354

29．x~2分布表1360

30．t分布表1362

31．F分布表1364

32．正交表1368