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第十二章 不定积分1

第一节 不定积分的概念与性质1

一、原函数与不定积分的概念1

二、基本积分公式表2

三、不定积分的性质3

习题12-15

第二节 换元积分法5

一、第一类换元法(凑微分法)6

二、第二类换元法9

习题12-212

第三节 分部积分法14

习题12-317

第四节 几种特殊类型函数的积分18

一、有理函数的积分18

二、三角函数的有理式的积分举例22

三、简单无理函数的积分举例23

四、杂例24

习题12-428

第五节 积分表的使用29

习题12-531

第十三章 定积分32

第一节 定积分概念32

一、定积分问题举例32

二、定积分定义33

习题13-135

第二节 定积分的性质 中值定理36

一、积分的线性性质36

二、积分对区间的可加性36

三、积分的估值性质37

四、积分中值定理37

习题13-239

第三节 微积分基本公式40

一、变速直线运动中位置函数与速度之间的联系40

二、积分上限的函数及其导数40

三、牛顿--莱布尼兹公式42

习题13-344

第四节 定积分的换元法和分部积分法45

一、定积分的换元积分法45

二、定积分的分部积分法48

三、杂例50

习题13-450

第五节 广义积分52

一、无穷限的广义积分52

二、无界函数的广义积分54

习题13-556

第十四章 多元函数积分学57

第一节 二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念和性质57

一、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念57

二、积分的性质60

习题14-160

第二节 二重积分的计算61

一、利用直角坐标计算二重积分61

二、二重积分的换元积分法65

习题14-268

第三节 二重积分的计算71

一、利用直角坐标计算三重积分71

二、三重积分的换元积分法72

习题14-376

第四节 第一类曲线积分的计算77

一、平面曲线弧长的计算77

二、第一类曲线积分的计算78

习题14-481

第五节 第一类曲面积分的计算81

一、曲面面积的计算81

二、第一类曲面积分的计算83

习题14-586

第六节 第二类曲线曲积分87

一、第二类曲线积分的概念87

二、第二类曲线积分的计算89

三、两类曲线积分之间的联系92

习题14-693

第七节 第二类曲面积分94

一、第二类曲面积分的概念94

二、第二类曲面积分的计算97

三、两类曲面积分之间的联系100

习题14-7101

第八节 格林公式及其应用102

一、格林(Green)公式102

二、平面上曲线积分与路径无关的条件104

三、二元函数的全微分求积105

习题14-8108

第九节 高斯公式 通量与散度109

一、高斯公式109

二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件111

三、通量与散度112

习题14-9113

第十节 斯托克斯公式 环流量与旋度114

一、斯托克斯公式114

二、空间曲线积分与路径无关的条件116

三、环流量与旋度117

习题14-10118

第十五章 积分学应用120

第一节 元素法120

第二节 平面图形的面积121

一、应用定积分计算平面图形的面积121

二、应用二重积分计算平面图形的面积123

三、应用曲线积分计算平面图形的面积123

习题15-2124

第三节 空间立体的体积124

一、应用定积分计算立体的体积124

二、应用二重积分计算立体的体积127

三、应用三重积分计算立体的体积128

习题15-3128

第四节 变力作功 流体压力 引力129

一、变力作功129

二、液体压力130

三、引力131

习题15-4133

第五节 重心转动惯量134

一、重心134

二、转动惯量137

习题15-5138

第六节 物体的动能 冲量140

一、物体的动能140

二、冲量141

习题15-6142

第七节 积分学在电学中的应用142

一、交流电的平均功率142

二、电势与电场强度143

三、电场力及电场力作功144

习题15-7145

第十六章 无穷级数146

第一节 常数项级数的概念和性质146

一、常数项级数的概念146

二、无穷级数的基本性质147

三、级数收敛的必要条件148

四、柯西审敛原理148

习题16-1149

第二节 常数项级数的审敛法150

一、正项级数及其审敛法150

二、交错级数及其审敛法153

三、绝对收敛与条件收敛154

习题16-2155

第三节 广义积分的审剑法Γ函数157

一、广义积分的审剑法157

二、Γ函数158

习题16-3160

第四节 幂级数160

一、函数项级数的一般概念160

二、幂级数及其收敛性161

三、幂级数的运算163

习题16-4165

第五节 函数展开成幂级数165

一、泰勒级数166

二、函数展开成幂级数167

三、欧拉公式170

习题16-5171

第六节 付里叶级数171

一、三角级数、三角函数系的正交性172

二、以2π为周期的函数的付里叶级数173

三、奇偶函数的付里叶展开式175

四、在有限区间内函数的付里叶级数176

五、周期为2l的周期函数的付里叶级数178

习题16-6180

第七节 付里叶级数的复数形式181

第十七章 常微分方程183

第一节 微分方程的基本概念183

习题17-1184

第二节 可分离变量的微分方程185

习题17-2186

第三节 齐次方程187

一、齐次方程187

二、可化为齐次的方程188

习题17-3189

第四节 一阶线性微分方程190

一、线性方程190

二、贝努里方程191

习题17-4192

第五节 全微分方程193

习题17-5194

第六节 可降阶的高阶微分方程195

一、y(n)=f(x)型的微分方程195

二、y =f(x,y )型的微分方程195

三、y =f(y,y )型的微分方程196

习题17-6198

第七节 线性微分方程解的结构199

习题17-7200

第八节 二阶常系数齐次线性微分方程201

习题17-8204

第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程204

习题17-9207

第十节 常系数非齐次线性方程的算子解法207

习题17-10210

第十一节 欧拉方程211

习题17-11212

第十二节 微分方程的幂级数解法212

一、一阶微分方程的幂级数解法212

二、二阶齐次线性方程的幂级数解法213

习题17-12214

第十三节 常系数线性微分方程组214

习题17-13216

第十八章 微分方程应用及模型217

第一节 根据规律列方程类模型217

一、凹镜的曲面方程217

二、悬链线方程218

三、小振幅的质点振动219

四、R-L-C电路223

第二节 微元分析法模型224

一、容器漏水问题224

二、杆件中热的传递225

第三节 模拟近似法模型226

一、人口模型226

二、传染病传播模型229

习题231

第十九章 数值计算初步232

第一节 数值积分232

一、矩形法232

二、梯形法233

三、抛物线法(辛卜生法)233

四、利用幂级数计算定积分235

习题19-1236

第二节 一元方程的近似解236

一、对半分法236

二、牛顿法237

三、弦截法238

习题19-2240

第三节 解线性方程组的迭代法240

一、雅可比迭代法240

二、高斯--塞德尔迭代法241

三、松驰迭代法242

习题19-3243

第四节 一阶常微分方程初值问题的数值解243

一、欧拉方法243

二、梯形方法243

三、龙格--库塔法的基本思路245

习题19-4245

附录Ⅰ 几种常用的曲线246

附表Ⅱ 积分表249

习题参考答案255