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前言1

符号说明4

第一篇 分析基础1

第一章函数与映射1

1-1函数与映射的概念1

1-1-1函数的概念1

1-1-2映射的概念4

思考题6

习题6

1-2函数的几何特性7

1-2-1奇偶性7

1-2-2周期性8

1-2-3有界性8

1-2-4单调性9

思考题9

习题9

1-3函数的运算10

1-3-1四则运算10

1-3-2复合运算11

1-3-3反函数12

1-3-4初等函数14

思考题14

习题14

复习题15

第二章极限论17

2-1数列极限概念17

2-1-1问题的提出17

2-1-2数列极限概念18

思考题22

习题23

2-2收敛数列性质23

思考题28

习题28

2-3极限存在准则29

2-3-1问题的提出29

2-3-2单调有界数列32

2-3-3区间套定理34

2-3-4外尔斯特拉斯定理36

2-3-5柯西收敛原理38

思考题40

习题41

2-4函数极限概念42

2-4-1函数在无穷远处的极限42

2-4-2函数在一点的极限44

2-4-3函数在一点的单侧极限46

思考题47

习题48

2-5函数极限性质48

思考题51

习题51

2-6两个重要极限52

2-6-1limx→0sinx/x=152

2-6-2limx→∞（1+1/x）x=e54

思考题55

习题55

2-7无穷小量与无穷大量56

2-7-1概述56

2-7-2无穷小量及其性质57

2-7-3无穷大量及其性质58

2-7-4无穷小量与无穷大量的阶60

思考题63

习题63

2-8曲线的渐近线64

思考题67

习题68

2-9函数极限存在定理68

思考题70

习题71

复习题71

第三章函数的连续性74

3-1连续与间断的概念74

思考题77

习题77

3-2连续函数的运算78

3-2-1连续函数的四则运算78

3-2-2复合函数的连续性79

3-2-3初等函数的连续性79

3-2-4连续函数的极限运算80

思考题82

习题83

3-3闭区间上连续函数的性质84

3-3-1确界存在定理84

3-3-2闭区间上连续函数的性质85

思考题88

习题88

3-4函数的一致连续性89

思考题92

习题92

3-5有限覆盖定理及其应用93

思考题95

习题95

复习题95

第二篇 一元函数微积分学97

第四章导数与微分97

4-1导数的概念98

4-1-1变化率问题举例98

4-1-2导数的定义99

4-1-3可导与连续的关系101

4-1-4导数的几何意义102

4-1-5导数概念的其它例子104

思考题106

习题106

4-2导数公式及求导法则107

4-2-1三步法求导107

4-2-2四则运算法则109

4-2-3反函数求导法则111

4-2-4复合函数求导法则113

思考题116

习题116

4-3隐函数及参变量函数的求导法则119

4-3-1隐函数求导法则119

4-3-2参变量函数求导法则120

4-3-3相关变化率122

习题123

4-4微分124

4-4-1微分的概念124

4-4-2微分的运算127

4-4-3微分形式的不变性127

4-4-4微分的几何意义129

4-4-5微分在近似计算上的应用129

思考题130

习题130

4-5高阶导数与高阶微分131

4-5-1高阶导数的概念131

4-5-2高阶导数的计算132

4-5-3高阶微分138

思考题139

习题140

复习题141

第五章微分中值定理与导数的应用143

5-1微分中值定理143

5-1-1微分中值定理的几何背景143

5-1-2微分中值定理的证明145

5-1-3应用举例147

思考题149

习题149

5-2洛必塔（L′Hospital）法则151

5-2-1不定式的极限151

5-2-20/0型不定式152

5-2-3∞/∞型不定式154

5-2-4其它类型不定式156

5-2-5不适宜用洛必塔法则计算的不定式157

思考题158

习题158

5-3泰勒（Taylor）公式159

5-3-1基本问题159

5-3-2带皮亚诺余项的泰勒公式161

5-3-3带拉格朗日余项的泰勒公式162

5-3-4函数的泰勒展开式163

5-3-5泰勒公式的应用166

思考题169

习题169

5-4函数的单调性及其判别法170

5-4-1一阶导数与函数的单调性170

5-4-2利用一阶导数符号证明不等式171

思考题172

习题172

5-5函数的极值与最值173

5-5-1函数的极值173

5-5-2函数的最大值与最小值176

5-5-3最值与不等式177

思考题178

习题179

5-6函数的凸性与拐点181

5-6-1凸函数的概念182

5-6-2拐点184

5-6-3凸性与不等式184

思考题186

习题186

5-7函数作图187

习题189

5-8平面曲线的曲率190

5-8-1曲率的概念190

5-8-2曲线弧长的微分192

5-8-3曲率公式193

5-8-4曲率圆195

5-8-5曲率中心的计算公式 渐屈线与渐开线197

思考题198

习题199

复习题199

第六章不定积分202

6-1原函数与不定积分概念203

6-1-1原函数概念203

6-1-2不定积分概念204

思考题205

6-2基本积分表及不定积分的性质206

6-2-1基本积分表206

6-2-2不定积分的性质207

思考题209

习题209

6-3换元积分法210

6-3-1第一换元法210

6-3-2第二换元法217

思考题220

习题220

6-4分部积分法222

思考题226

习题226

6-5有理函数的积分227

6-5-1有理函数的分解227

6-5-2有理函数的积分231

6-5-3有理函数的其它积分法233

思考题234

习题234

6-6可转换成有理函数积分的几种类型235

6-6-1三角有理函数的积分235

6-6-2某些无理函数的积分238

思考题240

习题240

复习题242

第七章定积分及其应用244

7-1定积分概念248

7-1-1定积分概念248

7-1-2黎曼积分概念250

7-1-3用定义计算定积分252

思考题254

习题254

7-2可积函数类255

7-2-1可积函数的判别定理255

7-2-2可积函数类256

思考题260

习题260

7-3定积分性质261

7-3-1运算性质261

7-3-2比较性质263

7-3-3积分第一中值定理265

7-3-4区间可分性质267

思考题269

习题269

7-4变上限积分与牛顿-莱布尼兹公式270

7-4-1问题的提出270

7-4-2变上限积分的性质271

7-4-3牛顿-莱布尼兹公式273

思考题275

习题275

7-5定积分的换元法与分部积分法277

7-5-1定积分的换元法277

7-5-2定积分的分部积分法279

7-5-3定积分计算和证明中的若干技巧281

思考题286

习题286

7-6广义积分初步289

7-6-1无穷区间的广义积分289

7-6-2无界函数的广义积分292

思考题293

习题294

7-7定积分应用294

7-7-1微元法294

7-7-2定积分的几何应用295

7-7-3定积分的物理应用305

思考题316

习题316

复习题319

第八章常微分方程322

8-1基本概念323

8-1-1方程类型323

8-1-2微分方程的解325

思考题327

习题327

8-2一阶微分方程328

8-2-1变量可分离的方程328

8-2-2齐次型方程332

8-2-3线性微分方程335

8-2-4可化为线性方程的非线性方程338

8-2-5结语341

习题343

8-3可降阶高阶微分方程347

8-3-1y（n）=f（x）型的微分方程347

8-3-2y″=f（x，y′）型的微分方程348

8-3-3y″=f（y，y′）型的微分方程351

习题353

8-4高阶线性微分方程解的结构354

8-4-1问题的提出354

8-4-2线性微分方程解的结构356

8-4-3基本解组及非齐次方程特解的求法361

习题365

8-5常系数线性微分方程366

8-5-1常系数线性齐次方程366

8-5-2常系数线性非齐次方程370

8-5-3欧拉（Euler）方程374

8-5-4振动问题分析377

习题381

8-6微分方程组简介382

8-6-1微分方程组的概念382

8-6-2升阶消元法383

8-6-3常系数线性微分方程组的算子解法385

8-6-4首次积分法386

习题392

复习题393

附录Ⅰ关于极限存在定理的等价性394

附录Ⅱ定积分存在定理397

习题解答402

参考文献425