《数学分析 上》求取 ⇩

0 预备知识1

0.1逻辑符号1

0.1.1 常用逻辑符号1

0.1.2 逻辑运算的形式定义1

0.1.3 运用逻辑符号表达命题2

0.2 集合3

0.2.1 集合的概念3

0.2.2 集合的包含关系,集合的运算4

0.2.3 集合的直积(Descartes积)5

0.3 函数5

0.3.1 函数定义5

0.3.2 函数的表示6

0.3.3 函数的几种特性7

0.3.4 函数的运算8

0.4 习题10

1 数列极限14

1.1 定义和例子14

1.2 收敛数列的性质17

1.2.1 唯一性17

1.2.2 有界性18

1.2.3 保号性18

1.2.4 不等式性18

1.2.5 迫敛性19

1.3 收敛数列的四则运算19

1.4 无穷小量与无穷大量21

1.4.1 无穷小量21

1.4.2 无穷大量24

1.5 确界与单调有界数列25

1.5.1 确界与确界存在的原理25

1.5.2 单调有界数列的极限,数e26

1.6 子列,数列的上下极限28

1.6.1 数列与其子列极限的关系28

1.6.2 数列的上下极限30

1.7 Cauchy收敛准则34

1.8 习题36

2 函数极限44

2.1 定义与例子44

2.2 函数极限存在性条件47

2.2.1 Heine归并定理47

2.2.2 Cauchy收敛准则48

2.2.3 单调函数的单侧极限的存在性49

2.3 函数极限的性质50

2.3.1 唯一性50

2.3.2 局部有界性50

2.3.3 局部保号性51

2.3.4 不等式性51

2.3.5 迫敛性51

2.4 函数极限的运算51

2.4.1 四则运算51

2.4.2 复合运算52

2.5 两个重要极限52

2.6 无穷小量及无穷大量的阶的比较54

2.7 习题55

3 连续61

3.1 定义和例子61

3.1.1 函数的连续点61

3.1.2 函数的间断点62

3.2 连续函数的性质63

3.2.1 局部有界性63

3.2.2 局部保号性63

3.2.3 不等式性63

3.2.4 介值性64

3.3 连续函数的运算65

3.3.1 四则运算65

3.3.2 复合函数的连续性65

3.3.3 反函数的连续性66

3.4 初等函数的连续性66

3.4.1 *实指数函数幂66

3.4.2 指数函数的连续性67

3.4.3 初等函数的连续性68

3.5 闭区间上连续函数的性质68

3.5.1 有界性69

3.5.2 最值存在性69

3.5.3 一致连续性70

3.6 习题72

4 实数连续性78

4.1 闭区间套定理78

4.2 有限覆盖定理80

4.3 致密性定理81

4.4 等价性83

4.5 习题84

5 导数与微分87

5.1 导数的概念87

5.1.1 问题的引出87

5.1.2 定义与例子88

5.1.3 可导必连续90

5.1.4 基本初等函数的导数91

5.2 导数运算法则92

5.2.1 四则运算92

5.2.2 复合函数求导93

5.2.3 反函数求导95

5.3 微分101

5.3.1 定义与例子101

5.3.2 微分的运算103

5.4 高阶导数与高阶微分104

5.4.1 高阶导数104

5.4.2 高阶微分108

5.5 习题110

6 微分学基本定理116

6.1 微分中值定理116

6.1.1 Fermat定理116

6.1.2 Rolle定理118

6.1.3 Lagrange定理119

6.1.4 Cauchy定理120

6.2 L'Hospital定理123

6.2.1 0/0型124

6.2.2 ∞/∞型127

6.3 Taylor公式129

6.3.1 带 Peano余项的Taylor 公式130

6.3.2 带 Lagrange余项的Taylor 公式134

6.3.3 Taylor公式在近似计算中的应用137

6.3.4 *Lagrange插值公式138

6.4 习题140

7 运用导数研究函数性态146

7.1 函数的单调性与极值146

7.1.1 单调性146

7.1.2 极值148

7.2 函数的凸性150

7.2.1 凸函数的定义150

7.2.2 凸函数的性质151

7.2.3 Jensen不等式155

7.3 函数图像的讨论158

7.3.1 平面曲线的拐点158

7.3.2 渐近线159

7.3.3 函数作图160

7.4 习题161

8 不定积分165

8.1 不定积分概念 基本积分表165

8.2 不定积分的运算167

8.2.1 线性运算167

8.2.2 第一换元法169

8.2.3 第二换元法173

8.2.4 分部积分法174

8.3 几类特殊的初等函数的不定积分177

8.3.1 有理函数的不定积分177

8.3.2 三角函数有理式的不定积分180

8.3.3 无理函数的不定积分182

8.4 习题183

9 定积分191

9.1 定积分概念191

9.1.1 问题的引出191

9.1.2 定积分定义194

9.2 函数可积的条件195

9.2.1 函数可积的必要条件195

9.2.2 函数可积的充要条件196

9.2.3 可积函数类202

9.3 定积分的性质204

9.3.1 运算的基本性质204

9.3.2 不等式性质208

9.3.3 可积必绝对可积210

9.3.4 积分第一中值定理210

9.3.5 变上(下)限积分函数211

9.4 微积分基本定理(Newton-Leibniz公式)212

9.5 定积分的计算214

9.5.1 换元法214

9.5.2 分部积分法216

9.5.3 积分第二中值定理219

9.5.4 Riemann引理221

9.6 习题224

10. 定积分的应用235

10.1 平面图形的面积235

10.1.1 直角坐标系下的面积235

10.1.2 极坐标系下的面积236

10.2 由截面面积求立体体积237

10.3 平面曲线的弧长与曲率239

10.3.1 弧长239

10.3.2 曲率244

10.4 放置曲面的面积245

10.4.1 微元法245

10.4.2 放置曲面面积的计算246

10.5 定积分在物理上的某些应用247

10.5.1 压力 功247

10.5.2 质心248

10.6 习题251