《数学分析 上》

第一章函数1

1 实数1

一 实数及其性质1

二 绝对值与不等式2

2 数集·确界原理4

一 区间与邻域4

二 有界集·确界原理5

3 函数概念10

一 函数的定义10

二 函数的表示法14

三 函数的四则运算16

四 复合函数17

五 反函数19

4 具有某些特性的函数22

一 有界函数22

二 单调函数23

四 周期函数25

三 奇函数与偶函数25

5 初等函数27

一 基本初等函数27

二 初等函数32

第二章数列极限36

1 数列极限概念36

一 数列极限的定义36

二 无穷小数列42

2 收敛数列的性质44

3 数列极限存在的条件54

第三章函数极限63

1 函数极限概念63

一 x 趋于无穷大时函数的极限63

二 x 趋于某一定数时函数的极限65

2 函数极限的性质72

3 函数极限存在的条件77

4 两个重要极限82

一 证 lim(x→0) sinx/x＝182

二 证明 lim(x→∞)(1+1/x)?＝e84

一 无穷小量87

5 无穷小量与无穷大量·阶的比较87

二 无穷小量阶的比较88

三 无穷大量91

第四章函数的连续性97

1 连续性概念97

一 函数在一点的连续性97

二 间断点及其分类99

三 区间上的连续函数101

一 连续函数的局部性质102

2 连续函数的性质102

二 闭区间上连续函数的性质104

三 反函数的连续性107

四 一致连续性108

3 初等函数的连续性111

一 具有实指数的乘幂112

二 指数函数的连续性114

三 初等函数的连续性115

一 问题的提出119

1 导数概念119

第五章导数与微分119

二 导数的定义121

三 单侧导数124

四 导函数125

五 导数的几何意义127

2 求导法则132

一 导数的四则运算132

二 反函数的导数136

三 复合函数的导数137

四 基本求导法则与公式141

3 微分143

一 微分概念143

二 微分的运算法则146

三 近似计算与误差估计147

4 高阶导数与高阶微分150

一 高阶导数150

二 高阶微分152

5 参数方程所表示的函数的导数153

一 费马定理158

第六章中值定理与导数应用158

1 微分学基本定理158

二 中值定理159

2 不定式的极限167

一 0/0型不定式的极限168

二 ∞/∞型不定式的极限170

三 其他类型不定式的极限172

3 泰勒公式175

一 泰勒定理175

二 带皮亚诺型余项的泰勒公式179

三 某些应用182

4 函数的单调性与极值185

一 函数的单调性185

二 极值187

三 最大值与最小值190

5 函数的凸性与拐点194

一 函数的凸性194

二 拐点198

6 函数图象讨论199

一 渐近线200

二 函数作图202

第七章极限与连续性(续)206

1 实数的完备性206

一 区间套定理206

二 聚点定理与有限覆盖定理209

2 闭区间上连续函数性质的证明213

一 原函数与不定积分220

1 不定积分概念与基本积分公式220

第八章不定积分220

二 基本积分表223

三 不定积分的线性运算法则225

2 换元积分法与分部积分法227

一 换元积分法227

二 分部积分法233

3 有理函数和可化为有理函数的不定积分237

一 有理函数的积分238

二 三角函数有理式的积分244

三 某些无理根式的积分246

第九章定积分253

1 定积分概念253

一 问题提出253

二 定积分的定义256

2 可积条件260

一 可积的必要条件260

二 上和与下和261

三 可积条件265

四 可积函数类266

3 定积分的性质270

4 微积分学基本定理·定积分计算276

一 微积分学基本定理276

二 换元积分法与分部积分法279

5 非正常积分286

一 问题提出286

二 无穷限非正常积分288

三 无界函数非正常积分296

1 曲线的弧长305

第十章定积分的应用305

一 直角坐标系中平面图形的面积309

2 平面图形的面积·微元法309

二 微元法311

三 极坐标系中图形的面积312

3 旋转面的面积和旋转体的体积314

一 旋转面的面积314

二 旋转体的体积315

三 已知截面面积函数的立体体积317

一 压力320

4 定积分在物理上的某些应用320

二 功321

三 静力矩与重心322

四 平均值323

附录Ⅰ 微积分发展简史326

附录Ⅱ 实数理论335

附录Ⅲ 积分表351

习题答案360