《数学分析 上》

第一章函数1

§1函数概念1

一 实数概述1

二 函数4

三 函数的表示法8

§2一些特殊类型的函数11

一 有界函数11

二 单调函数12

三 奇函数与偶函数四 周期函数13

§3函数的运算15

一 四则运算15

二 复合函数16

三 反函数18

§4初等函数23

一 基本初等函数23

二 初等函数27

第二章数列极限31

§1 数列极限概念31

§2 收敛数列的定理38

§3 数列极限存在的条件46

第三章函数极限53

§1函数极限概念53

一 x→∞时函数f（x）的极限53

二 x→x0时函数f（x）的极限55

§2 函数极限的定理63

§3两个重要极限71

一 ?71

二 ?73

§4无穷小量与无穷大量·阶的比较75

一 无穷小量75

二 无穷小量阶的比较77

三 无穷大量80

第四章函数的连续性85

§1连续性概念85

一 函数在一点的连续性85

二 间断点及其分类88

三 区间上的连续函数90

§2连续函数的性质92

一 连续函数的局部性质92

二 闭区间上连续函数的基本性质94

三 反函数的连续性97

四 一致连续性98

§3初等函数的连续性101

一 具有实指数的乘幂101

二 指数函数的连续性104

三 初等函数的连续性105

第五章导数与微分108

§1导数概念108

一 问题的提出108

二 导数的定义110

三 单侧导数112

四 导函数114

五 导数的几何意义116

§2求导法则120

一 导数的四则运算120

二 反函数的导数124

三 复合函数的导数125

四 基本求导法则与公式128

§3微分131

一 微分概念131

二 微分的运算法则134

三 近似计算与误差估计135

§4高阶导数与高阶微分137

一 高阶导数137

二 高阶微分140

§5 参量方程所表示的函数的导数142

第六章中值定理与导数应用148

§1微分学基本定理148

一 费马定理148

二 中值定理149

三 泰勒定理156

§2函数的单调性与极值162

一 函数单调性的判别法162

二 极值的判别法165

三 最大值与最小值的求法167

§3函数图象的讨论173

一 曲线的凸性173

二 拐点176

三 渐近线176

四 函数图象的讨论179

§4不定式的极限182

一 0/0型不定式182

二 ∞/∞型不定式185

三 其他类型的不定式187

*四 具有皮亚诺（Peano）型余项的泰勒公式及其应用188

*§5 方程的近似解191

第七章极限与连续性（续）197

§1实数的一些基本定理197

一 单调有界定理197

二 区间套定理198

三 确界存在定理201

§2 闭区间上连续函数基本性质的证明205

§3聚点定理与有限复盖定理210

一 聚点定理210

二 有限复盖定理214

§4 上极限和下极限217

第八章不定积分221

§1不定积分概念与基本积分公式221

一 原函数与不定积分221

二 基本积分表225

三 不定积分的线性运算法则226

§2换元积分法与分部积分法229

一 换元积分法229

二 分部积分法234

§3有理函数和可化为有理函数的积分238

一 有理函数的积分238

二 三角函数有理式∫R（sinx，cosx）dx型的积分245

三 ?dx型的积分247

四 ?dx型的积分249

第九章定积分255

§1定积分概念255

一 问题的提出255

二 定积分的定义260

§2可积条件263

一 可积的必要条件263

二 上和与下和264

三 可积条件268

四 可积函数类270

§3 定积分的性质272

§4定积分的计算279

一 微积分学基本定理279

二 换元积分法与分部积分法282

§5对数函数与指数函数288

一 自然对数函数288

二 数e290

三 指数函数291

四 以a为底的对数函数292

*§6定积分的近似计算293

一 梯形法294

二 抛物线法295

第十章定积分的应用299

§1 平面图形的面积299

§2 已知截面面积函数的立体体积303

§3曲线的弧长与曲率308

一 曲线的弧长308

二 曲率311

§4旋转体的侧面积315

一 微元法315

二 旋转体的侧面积317

§5定积分在物理上的某些应用319

一 压力319

二 功319

三 静力矩与重心320

四 平均值321

附录Ⅰ集合概念325

一 集合的概念325

二 集合之间的关系326

三 区间327

附录Ⅱ实数理论328

一 扩充有理数的原则328

二 用“基本数列”定义实数329

三 实数的有序性330

四 全体实数构成阿基米德有序体332

五 实数的完备性335

六 戴德金（Dedkind）的分划说大意337

习题解答339