《黎曼几何初步》

第一章 准备知识1

1 欧氏空间的映射1

1.1 映射的微分 链规则1

1.2 反函数定理6

1.3 秩定理13

1.4 Sard定理16

2 多重线性代数17

2.1 向量空间 对偶空间17

2.2 张量积 张量代数20

2.3 对称和反(对)称张量26

2.4 外代数30

2.5 欧氏向量空间37

习题40

第二章 微分流形43

1 微分流形的基本概念43

1.1 微分流形的定义43

1.2 实射影空间Pm(R) Grassmann 流形47

1.3 流形的映射52

1.4 浸入与淹没 子流形55

1.5 单位分解65

习题68

2 向量场70

2.1 切空间 切映射70

2.2 切丛 向量场76

2.3 单参数变换群83

2.4 分布 Frobenius 定理 叶状结构90

习题95

3.1 张量场97

3 张量场97

3.2 外微分100

3.3 黎曼度量111

习题116

4 流形上的积分 Stokes定理118

4.1 流形的定向118

4.2 带边界流形121

4.3 流形上的积分 Stokes定理126

习题132

1 仿射联络135

1.1 Rm及其子流形上的联络135

第三章 联络与曲率135

1.2 微分流形上的仿射联络138

1.3 仿射联络的挠率和曲率141

习题146

2 黎曼联络147

2.1 黎曼联络147

2.2 共变微分153

习题161

3 曲率164

3.1 曲率张量164

3.2 截面曲率 Ricci曲率 纯量曲率170

3.3 共形变换177

习题182

4.1 Hodge星算子184

4 调和形式184

4.2 Laplace-Beltrami算子190

4.3 Hodge定理及其几何应用197

习题203

第四章 测地线204

1 测地线与测地完备性204

1.1 测地线与指数映射 法坐标系204

1.2 测地完备性214

习题219

2 弧长的变分221

2.1 弧长的变分221

2.2 Jacobi场226

2.3 共轭点231

习题237

3 曲率与拓扑238

3.1 指标引理 Myers定理238

3.2 非正曲率流形的Hadamard定理244

习题248

4 比较定理249

4.1 Hessian比较定理249

4.2 Laplacian比较定理255

4.3 体积比较定理260

习题266

第五章 黎曼子流形268

1 子流形的基本公式268

1.1 等距浸入268

1.2 基本方程273

1.3 活动标架法276

1.4 常曲率空间的子流形279

习题281

2 超曲面282

2.1 超曲面的基本公式及其应用282

2.2 主曲率287

2.3 欧氏空间的超曲面293

习题300

3 极小子流形302

3.1 体积的变分302

3.2 欧氏空间的极小子流形309

3.3 球面上的极小子流形312

3.4 Simons不等式316

习题320

4 全绝对曲率与Gauss映射322

4.1 Lipschitz-Killing曲率322

4.2 全绝对曲率327

4.3 Gauss映射331

4.4 Gauss映射的调和性334

习题336

附录Ⅰ 常微分方程组存在定理338

附录Ⅱ Sard定理344

附录Ⅲ 黎曼淹没348

附录Ⅳ 广义极大原理355

参考文献360

索引362